Аморизм (СИ) - Махина Манюша Сергеевна "anonim". Страница 63

Эвклид оперирует геометрическими абстракциями по законам логики (закон тождества «А равно А»; закон противоречия: «если А верно, значит, «не А» неверно»; и закон исключения третьего: «или верно А, или верно не «А»), и получает ряд утверждений. Одни он назвал аксиомами — истинами, не требующими доказательств. Например, объекты, равные третьему, равны и между собой. Иначе говоря, если А = Б; если Б = С; то А = С. Другие назвал постулатами, т.е. истинами при определенных условиях. Например, две точки можно соединить прямой линией (под прямой он понимал кратчайшее расстояние между двумя точками в пространстве с нулевой кривизной).

На базе аксиом и постулатов он получает теоремы. Например: сумма углов треугольника равна 180⁰. Или: квадрат гипотенузы любого прямоугольника равен сумме квадратов катетов. На базе первых теорем доказывались следующие, на их базе третьи и так далее.

Из соотношений и взаимодействий геометрических абстракций рождается арифметика. В ее основе еще более глубокая абстракция, — цифра. Если точку мы можем попытаться хотя бы начать представлять, и у нас получится исчезающий кружочек, то с цифрой и этого не можем. Мы можем представить символ цифры, но саму цифру вне символа невозможно даже начать представлять.

У савантов, людей, обладающих странными способностями, это получается. Только чтобы это почувствовать, нужно быть савантом. Чтобы увидеть, как жук видит зеленый цвет, нужно быть жуком — квалиа. Кто не савант, тому даже не помыслить, как это, видеть цифру вне символа.

До появления геометрии и арифметики знания добывались через чувства и запоминание: тут еда, там тепло, здесь опасность, и прочее. С появлением этих наук к чувственному добавляется разумный способ. Люди начинают строить объекты, какие без знаний невозможны. Они выходят на масштаб, о каком раньше помыслить не могли. Например, Эратосфен с помощью палки и ее тени вычислил длину экватора. На базе этих данных Аристарх Самосский вычислил расстояние до Луны и размер Солнца. Открытие гигантской разницы между Солнцем и Землей натолкнуло его на мысль, что как арбуз не может вращаться вокруг семечка, так и Солнце не может вращаться вокруг Земли. В результате он высказал идею, что не Солнце вращается вокруг Земли, а наоборот.

Древние считали, что знания, полученные силой ума из абстракций по правилам логики, имеют божественное происхождение. Пифагор относился к а²+в²=с² с большим благоговением, чем верующие к объектам своего поклонения. Верующие довольствовались неподтвержденными историями про деяния Зевса и прочих богов, а знания просвечивали мир насквозь, как рентген, обнаруживая то, чего чувства не могли зафиксировать, и это было настоящее волшебство.

Пифагореец Филолай, живший в V в. до н.э. писал: «Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам».

Из геометрических абстракций родилась формальная система — геометрия. Из нее вышла следующая формальная система — арифметика, а из нее математика. Галилей делает математику основой и точкой отсчета познания мира, что само по себе является революцией. Математика не касается вопроса, почему 2+2=4, она констатирует это. Подчиненная математике Наука стоит на принципе: «мы знаем, что будет, если соединить это с этим, но мы не знаем, почему это будет».

Под знанием теперь понимается описание мира, а не понимание, почему мир такой, и что его заставляет быть таким. Дело ученых теперь не поиск причин и рассуждений в формате «почему», а установление фактов в формате «сколько». Ведь для того, чтобы решить проблему\задачу, её надо сначала зафиксировать, описать, уловить в строгий образ, а потом уже искать её причины.

Переход от физического объяснения мира к описанию его на языке математики положил начало тому, что мы сегодня называем современной наукой. Наука отказалась понимать природу сил и явлений. Вместо этого она обозначила их символами, установила между ними соотношения, и начала ими оперировать — вычислять. У этого метода обнаружилась предсказательная сила.

После этого авторитет науки стал расти как на дрожжах. Максвелл в XIX веке уложил в единую формулу все известные в его время знания по электромагнетизму, и обнаружил, что формула неполна, что в ней не хватает одной величины. Когда он дописал недостающую величину, формула стала полной. Через 15 лет после его смерти открыли явление, соответствующее величине, какую он дописал. Он вычислил то, чего во время его жизни не было известно — радиоволны.

Научные знания растут по экспоненте. Чем их больше, тем их еще больше. Чем больше копится знаний, тем точнее предсказания. Человеку кажется, что он может узнать все, а значит, он потенциально всемогущий. Этот посыл идеально ложится в гуманистическое понимание мира.

Математика и религия — формальные системы. Отличает их разная предсказательная сила. Научные прогнозы до удивления точны, тогда как точность предсказаний других формальных систем: карточных гаданий, религиозных пророчеств, астрологии и прочее, в рамках статистической погрешности. Вера в эти прогнозы базируется на склонности принимать случайное совпадение за сбывшееся предсказание. Научные же предсказания характерны тем, что не требуют веры, и даже наоборот, требуют ничему не верить, кроме доказанной информации.

Чем больше математика демонстрирует таких фактов, тем больше людей склонны считать ее подлинным чудом, универсальным ключом от всех дверей. Если Бог создал мир, пишут многие видные ученые, он неизбежно математик, так как материальный мир выражен через математику.

Физический мир и математика являются близкими родственниками. Естественно, что они похожи друг на друга. Было бы странно, будь это было иначе. Реальность отражается в математике как вы в зеркале. Когда вы смотрите в зеркало, тот, кого видите в нем, — это не вы, но по вашим движениям можно предсказать поведение отражения (оно не сразу реагирует, свет проходит расстояние от вас до зеркала). Аналогично по математике можно предсказать поведение физических объектов. Этот факт придает математике мистическую эффективность, на что указывают все крупные математики. Американский физик Вигнер, сопоставимая с Эйнштейном фигура, пишет по этому поводу: «Невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет».

Потолок

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал новую программу стандартизации математики, где любой математический объект можно рассматривать как то или иное множество. Что есть множество, Кантор объяснил мутно («множество есть многое, мыслимое как единое»). Но так как с помощью новой систематизации можно было ответить на то, на что в прошлом не удавалось, многие математики одобрили переход на теоретико-множественный язык.

В 1872 году немецкий философ Дюбуа-Реймон сказал речь «О границах естествознания», где указал на ряд непреодолимых для разума вопросов, в частности, о невозможности объяснения сознания с научной точки зрения (трудная проблема сознания). Он сказал, что как завоевателю древности океан обозначал границы его возможностей, так природа мышления обозначает нам границы познания, и заявил: «Ignoramus et ignorabimus» (не знаем и никогда не узнаем»).

К началу ХХ века вера в бесконечные возможности математики и всемогущество научного познания достигла пика. Математикам категорически не нравилось утверждение, что у познания есть границы. (Судя по этому, большинство не понимало смысла «трудной проблемы сознания»).

К таким непонимающим относился Гильберт, ведущий математик тех лет. Он сказал в одном из выступлений: «Вместо дурацкого игнорабимус провозгласим наш контр-лозунг: Мы должны знать — мы будем знать!». Осталось доказать такую возможность.

Так как критерием научной истины считалась непротиворечивость, нужно было доказать, что в основании математики лежат истинные аксиомы. Это значит, что из них невозможно вывести взаимоисключающих суждений, или суждений, не определяемых ни истиной, ни ложью.