Для юных математиков. Веселые задачи - Перельман Яков Исидорович. Страница 9
ЗАДАЧА № 59 Четыре колодца
На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом близ края участка и один в углу.
Участок перешел к четырем арендаторам, которые и решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы, и чтобы на каждом из них находился колодец.
Можно ли это сделать?ЗАДАЧА № 60 Куда девался квадратик?
В заключение наших занятий с разрезыванием фигур покажу читателю интересный пример разрезывания, при котором неизвестно куда исчезает кусочек фигуры.
На клетчатой бумаге обчерчиваю квадрат, заключающий в себе 64 маленьких квадратика. Затем провожу косую линию слева направо, начиная с той точки, где вверху сходятся первый и второй квадратики, и кончая правым нижним углом большого квадрата. Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С. Всю левую часть чертежа обозначим буквой А, а правую – буквой В. Теперь разрезаю чертеж по косой линии и двигаю правую часть косо вверх по разрезу так, чтобы эта часть поднялась на один ряд квадратиков. Вверху окажется при этом маленький пустой треугольничек, а внизу направо будет выдаваться треугольничек С. Беру ножницы, отрезаю выступающий маленький треугольничек С и помещаю его вверху – там, где остался незанятый треугольник.
Он приходится сюда как раз впору.
Теперь у нас получается прямоугольник, имеющий 7 квадратиков в высоту и 9 квадратиков в ширину. Но 7x9 = 63. Значит, наш прямоугольник заключает теперь всего 63 квадратика, между тем как прежде их было 64.
Куда же девался один квадратик?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 51-60Решение задачи № 51
Нужно разрезать флаг по ступенчатой линии, обозначенной здесь на рисунке.
Теперь остается только передвинуть нижнюю часть флага вверх на одну ступеньку и сшить. Получится флаг уже не с 12 полосами, а с 10-ю. Он стал более продолговатым, но ни одного клочка материи не убавилось. Решение задачи № 52
Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части следующим образом (пунктиром показано, как она намечала линии разреза: от вершин квадрата к середине сторон). Из этих 4 кусков сестра сшила крест (рисунок 54).
Как видите, в нем всего два шва. Решение задачи № 53
Вот как сестра сшила крест из обрезков:
Решение задачи № 54
Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан здесь на чертежах:
Решение задачи № 55
Сделать надо так, как показано на прилагаемом чертеже. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.
Решение задачи № 56
Решение видно из прилагаемого чертежа 58-го. Обе части разделенной «запятой» равны между собой, потому что составлены из одинаковых частей.
Рисунок 59-й показывает, как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.
Решение задачи № 57
Вот все различные развертки куба (рис. 60). Их 10:
Фигуры 1-ю и 5-ю можно повернуть; это прибавляет еще две развертки, и тогда общее число их будет не 10, а 12. Решение задачи № 58
Решение первой задачи видно из чертежа 61-го.
А вот как составляется квадрат из 5 треугольников (рис. 62). Один предварительно разрезают, как показано на чертеже 62-м внизу.
Решение задачи № 59
Способ размежевания земли между 4-мя арендаторами обозначен сплошными линиями на чертеже (рис. 63).
Участки получаются довольно причудливой формы, – но зато у всех четырех арендаторов они совершенно одинаковы, и у каждого есть колодец. Решение задачи № 60
Секрет непонятного исчезновения 64-го квадратика открывается сразу, если тщательнее исполнить чертеж.
Вглядитесь пристально в приложенный здесь чертеж: вы заметите, что прямоугольник вовсе не составлен из 64 квадратов, как кажется при неотчетливо исполненном чертеже. Те «квадраты», которые расположены вдоль косой линии разреза, совсем не квадраты: каждая из этих фигур по площади немного более соответствующего квадратика, и из суммы этих избытков слагается недостающая площадь будто бы исчезнувшего квадратика. Подтасовка выступит яснее, если разграфить фигуру не на 64 квадратика, а всего на 4x4 = 16 квадратиков. Наоборот, чем на большее число частей разграфлена фигура, тем труднее уловить ошибку.
Глава VII Десять замысловатых задач
ЗАДАЧА № 61
Дешевый сторож
Арендатору большого фруктового сада понадобилось на целые сутки отлучиться как раз в ту пору, когда яблоки поспели и представляли наибольший соблазн для любителей полакомиться на чужой счет. Необходимо было нанять на эти сутки сторожа. Скупой арендатор долго выбирал сторожа подешевле, пока не напал на такого, который вовсе не просил денег, а довольствовался уплатой яблоками. Это понравилось арендатору.
– Понадобится сторожить целые сутки без смены и перерыва, никуда не отлучаясь. Поспать успеете потом, когда отдежурите.
– Хорошо, буду без смены. Но платить вам придется не ровно: за каждый следующий час вдвое против предыдущего.
– Это бы можно; но сколько же вы хотите за первый час?
– Уж чего меньше: одно яблоко за первый час дадите, и достаточно. За второй – два яблока положите, и довольно. За третий – четыре, и хватит. За четвертый…
– Ладно, – поспешил согласиться арендатор. – «Если этот чудак так же честен, как нерасчетлив, то я, кажется, сделал выгодное дело: за несколько десятков яблок достал сторожа на целые сутки», – подумал он, уходя.
Сторож был нанят, и арендатор спокойно уехал, радуясь тому, что на свете есть люди, не умеющие считать.
Когда, спустя сутки, арендатор возвратился к своему саду, он увидел у ворот телегу, на которую его сторож ссыпал один мешок яблок за другим.
– Это что такое! – накинулся на него арендатор. – Я нанимал вас сторожить, а не грабить. Куда увозите мои яблоки?
– Были ваши, теперь мои, – спокойно ответил сторож. – Забыли, небось, уговор?
– Уговор? Да разве по нашему уговору вам за одни сутки следует яблок целый воз? Считать не умеете…
– И не один воз следует. Сами считать не умеете.
– Не один воз! Что за вздор! Уж не все ли яблоки моего сада?
– Не только вашего. Во всем городе не закупите яблок, чтобы со мной расплатиться. Возов тысячи три понадобится, не меньше.
– Три тысячи возов яблок? За одни сутки? Ничего не понимаю…
А вы, читатель, понимаете? Кто из них считать не умел: сторож или арендатор? А может быть, ни тот ни другой?
ЗАДАЧА № 62
Крестьянка и паровоз