Для юных физиков. Опыты и развлечения (сборник) - Перельман Яков Исидорович. Страница 19

В сутках 24x60x60=86.400 секунд. Поэтому, если заниматься счетом спичек без перерыва день и ночь, то в течение одних суток удалось бы отсчитать всего 86.400 штук. А чтобы отсчитать миллион спичек, потребовалось бы почти 12 суток беспрерывного счета!Биллион и триллион

Иному читателю покажется, пожалуй, что вырабатывая по миллиону спичек в сутки, фабрика довольно скоро доберется до такого числового великана, как биллион, т. е. миллион миллионов. Думать так – значит не понимать, что такое биллион.

В самом деле. Мы сейчас видели, что годовая производительность всех спичечных фабрик нашего Союза не превышает 120 миллиардов, т. е. 120.000 миллионов штук. Значит, чтобы изготовить 1.000.000 миллионов (т. е. биллион) спичек, потребовалось бы более 8 лет! А одна фабрика, выделывающая по миллиону спичек в сутки, справилась бы с этим только в миллион суток, т. е. примерно в 3.000 лет!

Следующий числовой исполин, триллион,  – в миллион раз больше биллиона [24] . Если триллион спичек выложить, конец к концу, в один прямой ряд, то знаете ли, как далеко вытянется этот ряд? На 5 триллионов сантиметров, т. е. на 50 биллионов (50.000.000.000.000) километров! Световой луч, пробегающий 300.000 километров в секунду, делает в год 9 1/2 биллионов километров; следовательно, вдоль нашей спичечной линии луч света будет скользить от одного конца до другого 5 лет! Это значит, что триллион спичек можно было бы протянуть от нашей планеты дальше звезды альфы в созвездии Центавра!Не думаю, чтобы таким сопоставлением я заметно облегчил вам понимание огромности триллиона: звездные расстояния едва ли не труднее представлять себе, чем исполинские числа. Но полезно знать, по крайней мере, что оба представления – триллиона и звездных расстояний – одного порядка трудности.

5. Немного геометрии на спичках

Горизонтально и вертикально

Задача 32-я

Попросите товарища положить на стол одну спичку горизонтально. Он положит, разумеется, так:

Рис. 44.

Затем попросите его положить возле первой спички вторую спичку вертикально. Сделает он это примерно так:

Товарищ ваш и не подозревает, что вы его «поддели». Боюсь, что вы и сами этого не подозреваете.

Ведь задача-то решена неверно!Решение

Обе спички (рис. 45) горизонтальны! Вы удивлены? Но подумайте: спичка, лежащая на горизонтальной поверхности стола, может ли иметь вертикальное направление? Вертикальное направление – это направление сверху вниз, к земле (точнее, к центру земного шара), – а как бы вы ни положили спичку на стол, она не будет направлена к земле.

Девяносто девять человек из ста делают эту ошибку, – не исключая даже и иных математиков. Едва ли ваш товарищ будет тот сотый, который не попадет впросак. Два четырехугольника Задача 33-я

На рис. 46 изображен четырехугольник из 6 спичек, площадь которого вдвое больше площади квадрата со стороною, равною одной спичке.

Так как длина спички вам известна – 5 см, то вы легко определите площадь вашего четыреугольника в сантиметрах: 5x10=50 кв. см. Задача состоит в следующем: не изменяя длины обвода [25] этого четырехугольника, изменить форму его так, чтобы площадь его уменьшилась вдвое, т. е. равнялась 25 см. Как это сделать?

Пусть читатель обратит внимание на то, что речь идет о составлении четырехугольной фигуры (а не непременно прямоугольной): углы новой фигуры не обязательно должны быть прямые.Решение

Надо из 6-ти спичек сложить параллелограмм так, чтобы его высота равнялась одной спичке (рис. 47). Такой параллелограмм, имеющий одинаковые основание и высоту с квадратом, должен иметь и одинаковую с ним площадь.

Что больше? Задача 34-я

Из 6-ти спичек сложены прямоугольник и равносторонний треугольник. Обводы этих фигур, конечно, одинаковы. А у какой больше площадь? (рис. 48).

Решение

Чтобы решить эту задачу, надо знать, как вычисляется площадь треугольника: умножают длину основания на высоту и полученное произведение делят пополам; или – что то же самое – умножают половину основания на высоту. В нашем треугольнике половина основания = одной спичке, т. е. основанию прямоугольника. Если бы высоты этих фигур были одинаковы, то обе фигуры имели бы равные площади. Но легко видеть, что высота треугольника меньше двух спичек, т. е. меньше высоты прямоугольника. Значит, и площадь треугольника меньше площади прямоугольника.Фигура с наибольшей площадью Задача 35-я

Сейчас мы составили из 6-ти спичек прямоугольник и равносторонний треугольник. Но из того же числа спичек можно составить еще и другие фигуры, имеющие одинаковый обвод. Некоторые из этих фигур изображены на рис. 49.

Площади всех этих фигур различны. Спрашивается, у какой же из них площадь наибольшая? Решение

Мы уже знаем, что площадь фиг. 1 больше площади фиг. 2. Легко сообразить, что она больше также и площади фиг. 3 (сравните их высоты!). Остается, следовательно, сравнить по величине площади фигур 1, 4 и 5. Мы можем рассматривать все три фигуры, как шестиугольники с равными сторонами (у фиг. 1 два угла выпрямлены). В курсах геометрии доказывается, что из всех многоугольников с одинаковым числом сторон и одинаковым обводом наибольшую площадь имеет многоугольник правильный, т. е. такой, у которого равны не только стороны, но и углы. Этому условию удовлетворяет фигура 5; она, следовательно, и имеет наибольшую площадь, какую можно ограничить шестью спичками [26] .

Покажем кстати, как можно сложить из спичек правильный шестиугольник. Для этого нужно примкнуть друг к другу 6 равносторонних треугольников, как показано на рис. 50, и затем вынуть внутренние спички.

Мост из двух спичек Задача 36-я

На рис. 51 вы видите остров, окруженный каналом. Ширина канала как раз равна длине одной спички, так что перебросить мостик через канал с помощью одной спички нельзя: невозможно опереться концами о берега канала.

Не удастся ли вам перекинуть мост через канаву с помощью двух спичек? Помните, однако, что склеивать или связывать эти две спички не полагается. Решение

Решение этой задачи основано на том, что длина линии, соединяющей противоположные углы квадрата (так называемая диагональ), меньше длины 1 1/2 спичек (см. рис. 52).

Зная это, мы можем построить требуемый мост так, как показано на рис. 53, – т. е. одну спичку кладем в положение 5–6, а другую в положение 7–4. Расстояние 2–7 очевидно равно расстоянию 5–7; расстояние 2–4, т. е. диагональ квадрата, меньше длины полутора спичек; а так как расстояние 2–7 равно половине спички, то пролет 7–4 короче длины спички. Отсюда и вытекает возможность сооружения нашего моста.

Задача эта может оказаться и практически полезной в том случае, когда, имея две одинаковые жерди, нужно перебросить (не связывая их между собою) мост через канаву, ширина которой как раз равна или даже чуть больше длины одной жерди. Возможно это, впрочем только в том месте канавы, где она поворачивает под прямым углом (рис. 54).