Загадки и диковинки в мире чисел - Перельман Яков Исидорович. Страница 10

Итак, 119 = 4 ? 25 + 3 ? 5 + 4, или в пятиричной системе «434».

Сделанные действия для удобства располагают

так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

1) Изобразить 47 в третичной системе:

Ответ: «502». Проверка: 5 ? 9 + 0 ? 3 + 2 = 47.

2) Число 200 изобразить в семиричной системе:

Ответ: «404». Проверка: 4 ? 49+ 0 ? 7 + 4 = 200.

3) Число 163 изобразить в 12-ричной системе:

Ответ: «117». Проверка: 1 ? 144 + 1 ? 12 + 7 = 163.

Думаем, что теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать изображений для цифр. В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например, в 12-ричной), может явиться надобность в цифрах, соответствующих числам десять и одиннадцать. Но из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для этих новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы, – хотя бы, например, буквы кил, стоящие в русском алфавите на 10-м и 11-м месте. Так, число 1579 в двенадцатиричной системе изобразится следующим образом:

Проверка: 10 ? 144 +11 ? 12 + 7= 1579.

Простейшая система счисления

Вообще нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятичной системе высшая цифра 9, в 6-ричной – 5, в троичной – 2, в 15-ричной – 14, и т. д.

Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется всего меньше цифр. В десятичной системе нужны 10 цифр (считая и 0), в пятиричной – всего 5 цифр, в троичной – 3 цифры (1, 2 и 0), в двоичной – только 2 цифры (цифры 1 и 0). Существует ли и «единичная» система? Конечно: это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, т. е. равны ей; другими словами, «единичной» можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная «система»; ею пользуется первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: в ней нет главной особенности нашей нумерации – так называемого поместного значения цифр. Действительно: в «единичной» системе знак, стоящий на 3-м или на 5-м месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на 3-м месте (справа) уже в 4 раза больше, чем на первом, а на 5-м – в 16 раз больше. Поэтому система «единичная» дает нам очень мало выгоды, так как для изображения какого-нибудь числа по этой системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же – только семь («1100100»), а в пятиричной – еще меньше, всего три («400»).

Вот почему «единичную» систему едва ли можно назвать «системой», по крайней мере, ее нельзя поставить рядом с остальными, так как она принципиально от них отличается, не давая никакой экономии в изображении чисел. Если же ее откинуть, то простейшей системой счисления нужно признать систему двоичную, в которой употребляются всего две цифры: 1 и 0. При помощи 1 и 0 можно изобразить все бесконечное множество чисел! На практике эта система мало удобна – получаются слишком длинные числа [18] ; но теоретически она имеет все права считаться простейшей. Она обладает некоторыми любопытными особенностями, присущими только ей одной, особенностями этими, между прочим, можно воспользоваться для выполнения целого ряда эффектных математических фокусов, о которых мы скоро побеседуем подробно в главе «Фокусы без обмана».

Необычайная арифметика

Простые арифметические действия, к которым мы привыкли настолько, что выполняем их автоматически, потребуют от нас немалого напряжения, если мы пожелаем применить их к числам, написанным не по десятичной системе. Попробуйте, например, выполнить сложение следующих двух чисел, написанных по пятиричной системе:

Складываем по разрядам, начиная с единиц, т. е. справа: 3 + 2 равно пяти, но мы не можем записать 5, потому что такой цифры в пятиричной системе не существует: пять есть уже единица высшего разряда. Значит, в сумме вовсе нет единиц: пишем 0, а пять, т. е. единицу следующего разряда, удерживаем в уме. Далее, 0 + 3 = 3, да еще единица, удержанная в уме, – всего

4 единицы второго разряда. В третьем разряде получаем 2 + 1 = 3. В четвертом 4 + 2 равно шести, т. е. 5+1; пишем 1, а 5, т. е. единицу высшего разряда, относим далее влево. Искомая сумма = 11340.

Предоставляем читателю проверить это сложение, предварительно переведя изображенные в кавычках числа в десятичную систему и выполнив то же действие.

Точно так же выполняются и другие действия: для упражнения приводим далее ряд примеров, число которых читатель, при желании, может увеличить самостоятельно:

При выполнении этих действий мы сначала мысленно изображаем написанные числа в привычной нам десятичной системе, а получив результат, снова изображаем его в требуемой недесятичной системе. Но можно поступать и иначе: составить «таблицу сложения» и «таблицу умножения» в тех же системах, в которых даны нам числа, и пользоваться ими непосредственно. Например, таблица сложения в пятиричной системе такова:

С помощью этой таблички мы могли бы сложить числа «4203» и «2132», написанные в пятиричной системе, гораздо менее напрягая внимание, чем при способе, примененном раньше.

Упрощается, как легко понять, также выполнение вычитания.

Нетрудно составить и таблицу умножения («Пифагорову») для пятиричной системы:

Имея эту табличку перед глазами, вы опять-таки можете облегчить себе труд умножения (и деления) чисел в пятиричной системе, как легко убедиться, применив ее к приведенным выше примерам. Например, при умножении

рассуждаем так: трижды три «14» (из таблицы); 4 пишем, 1 – в уме. Один на 3 = 3, да еще один, – пишем 4. Дважды три = «11»; 1 – пишем, 1 – переносим влево. Получаем в результате «1144».

Чем меньше основание системы, тем меньше и соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы обе таблицы таковы:

Их можно было бы сразу же запомнить и пользоваться ими для выполнения действий. Самые маленькие таблицы сложения и вычитания получаются для двоичной системы:

При помощи таких-то простых «таблиц» можно выполнять в двоичной системе все четыре действия! Умножения в этой системе, в сущности, как бы вовсе нет: ведь умножить на единицу значит оставить число без изменения, а умножение на «10», «100», «1000» и т. п. сводится к простому приписыванию справа соответствующего числа нулей. Что же касается сложения, то для выполнения его нужно помнить только одно – что в двоичной системе 1 + 1 = 10. Не правда ли, мы с полным основанием назвали раньше двоичную систему самой простой из всех возможных? Длина чисел этой своеобразной арифметики искупается простотой выполнения над ними всех арифметических действий. Пусть, например, требуется умножить: