Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс. Страница 31

Однако гораздо чаще Дазе вспоминают совсем за другое вычисление. Еще подростком он вычислил число ? с точностью в 200 разрядов, что для того времени было рекордом.

В окружающем нас мире окружности и круги присутствуют повсюду — и в видимой форме Луны, и в глазах людей и животных, и в срезе яйца, которое вы едите на завтрак. Привяжите собаку к шесту, воткнутому в землю, и путь, по которому она будет бегать вокруг шеста, охраняя территорию на натянутом поводке, будет окружностью. Окружность — это простейшая геометрическая форма. И древнему египтянину, прикидывающему, сколько зерна потребуется, чтобы засеять круглое поле, и римскому мастеровому, отмеряющему, сколько дерева пойдет на колесо, требовались вычисления, связанные с окружностями.

Уже в античные времена люди понимали, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же, независимо от величины окружности. Это отношение известно как число ?, его величина — чуть больше трех. Так что если вы возьмете диаметр окружности и, слегка изогнув, приложите его к самой окружности, то окажется, что он укладывается в ней три с небольшим раза.

Хотя число ? и представляет собой простое отношение, если выражать его через свойства окружности, задача нахождения его точного значения оказалась вовсе не простой. Эта неуловимость числа ? тысячи лет завораживала математиков. И чего тут удивляться! ? — единственное число, одновременно являющееся названием и песни (Кейт Буш) [26], и парфюма (мужской туалетной воды от «Givenchy»). Кстати, из отдела «Givenchy» по связям с общественностью мне прислали следующий текст:

Самые ранние приближения числа ? дошли до нас от древних вавилонян, использовавших значение 3¹/₈, и от египтян, которые пользовались значением 4(⁸/₉)², что в десятичных дробях выражается, соответственно, как 3,125 и 3,160.

Позднее, в Древней Греции, первым в череде гениев с необычайной страстью к числу ? был Архимед — мыслитель, предпочитавший иметь дело с миром реальности, в отличие от Евклида, существовавшего в мире абстракций. Среди многочисленных изобретений Архимеда были гигантская катапульта и система зеркал, с помощью которых он сфокусировал солнечные лучи так, что поджег римские корабли во время осады Сиракуз. А кроме того, он оказался первым, кто предложил метод вычисления числа ?.

Итак, Архимед нарисовал окружность, а затем построил два шестиугольника: один — вписанный в окружность, а другой — описанный вокруг нее, как указано на рисунке.

Одно это уже говорит нам, что значение числа ? должно лежать где-то между 3 и 3,46 — это можно определить, вычисляя периметры двух шестиугольников. Если принять диаметр окружности равным 1, то периметр внутреннего шестиугольника равен 3, что меньше, чем длина окружности, равная ?, что в свою очередь меньше, чем периметр внешнего шестиугольника, равный 3v2, то есть с точностью до двух десятичных разрядов — 3,46. (Архимед находил периметр внешнего шестиугольника, используя метод, который по сути был довольно канительным предшественником тригонометрии и который слишком сложен для того, чтобы здесь его приводить.) Итак,

Если теперь повторить вычисление, используя два правильных многоугольника с более чем шестью сторонами, то для ? получится более узкий интервал. Дело в том, что чем больше у многоугольника сторон, тем ближе его периметр к длине окружности, в чем можно убедиться, глядя на приведенный выше рисунок с двенадцатиугольником. Многоугольники ведут себя подобно стенам, смыкающимися вокруг ?, зажимая его снаружи и изнутри, между все более узких пределов. Архимед начал с шестиугольников, а в конце довел дело до многоугольников с 96 сторонами, что позволило ему вычислить ? следующим образом:

Это дает 3,14084 < ? < 3,14289 — точность в два десятичных разряда.

Шестиугольники Двенадцатиугольники

Однако охотники за числом ? не собирались на этом останавливаться. Все, что требовалось, дабы подобраться поближе к истинному значению этого числа, — это строить многоугольники со все большим числом сторон. Лю Хуэй, живший в Китае в III веке, применил сходный метод, используя площадь многоугольника с 3072 сторонами, и получил пять десятичных разрядов числа ?: 3,14159. Два столетия спустя Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи продвинулись дальше еще на одну цифру, до 3,141592, что потребовало многоугольника с 12 288 сторонами.

Грекам и китайцам мешали неуклюжие обозначения. Когда в конце концов математики стали применять арабские числительные с десятичной запятой, прежние рекорды тут же пали. В 1596 году голландский учитель фехтования Лудольф ван Цейлен, используя метод удвоения, дошел до многоугольника с 60 ? 2²⁹ сторонами и нашел значение ? с точностью до 20 десятичных знаков. Опус, в котором он напечатал свой результат, заканчивался так: «У кого есть охота, пусть подойдет ближе». Он продолжал вычислять и получил число ? с точностью до 32 и затем 35 десятичных знаков, каковые и были высечены на его надгробии. В Германии die Ludolphsche Zahl — число Лудольфа, или лудольфово число, — до сих пор допустимо в качестве названия числа ?.

В течение двух тысяч лет единственный способ определить значение числа ? состоял в использовании многоугольников.

Но в XVII веке Готфрид Лейбниц и Джон Грегори открыли новую страницу в истории числа ?, предложив формулу

Другими словами, четвертая часть ? равна единице минус одна треть плюс одна пятая минус одна седьмая плюс одна девятая и т. д.: надо попеременно прибавлять и вычитать дроби с единичным числителем и со знаменателем, последовательно равным нечетным числам, устремляющимся в бесконечность. До этого ученые видели в десятичном разложении числа ? лишь случайный набор цифр. И вдруг появилось одно из наиболее изящных, ничем не усложненных уравнений во всей математике. Оказалось, что образцовый представитель беспорядка несет некий порядок в своей ДНК.

Лейбниц пришел к этой формуле, используя «анализ» — мощный раздел математики, в котором для вычисления площадей, кривых и наклонов стали применяться новые представления о бесконечно малых величинах. Формула Лейбница представляет собой так называемый бесконечный ряд — сумму, которая продолжается и продолжается без конца. И эта формула дает способ вычислить число ?. Для начала нам надо умножить обе ее части на 4: