»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен. Страница 21
КОНЦЕПТУАЛЬНІ АСПЕКТИ ПІДВИЩЕННЯ РІВНЯ
ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ У ВУЗАХ НА ШЛЯХУ
ВЗАЄМОДІЇ ВИКЛАДАЧІВ ВУЗІВ ТА СЕРЕДНІХ ШКІЛ
Г.М. Дормостученко, Л.М. Іваницька, С.С. Середенко
м. Одеса, Одеський державний екологічний університет
Аналiз сучасного стану взаємодiї вищої та середньої освiти і пошук нових форм, методiв та концепцiй взаємодiї з метою пiдвищення рiвня викладання математики, навчального процесу у школi та вузi показує необхідність ретельного розгляду комплекс питань розвитку нових освiтніх програм, якi базуються на тiсному спiвробiтництвi викладачiв середнiх шкіл з викладачами вузів.
Таке спiвробiтництво розглядається на 5 рiвнях, що мають на меті сумiсну розробку, зокрема, навчального, науково-методичного, психолого-педагогiчного аспектiв освiти. Пiдвищення рiвня й ефективностi навчального заняття може бути досягнуто на шляху використання нових форм, які викликають iнтерес у школярiв та студентiв.
Важливий напрямок пiдвищення ефективностi освiтнього процесу – це використання спецiальних тестiв контролю, оцiнки знань школярiв та студентiв. Науковий аспект передбачає запрошення найбiльш талановитих школярiв до участi у справжнiй науковiй роботi сумiсно з вченими вузiв та студентами. Мова йде про зацікавлене спостерiгання роботи вчених, першi кроки у справжнiй математичній науцi. Як показує практика, пiсля подiбних занять талановитi школярi та студенти ще бiльше утверджуються у намiрi стати дослiдниками, зокрема в галузі математики. Проведення простих школярських і студентських конференцiй з поданням рефератiв або наукових результатiв дає у подальшому значний iмпульс у навчаннi. Олімпіада – це, відомо, досить ефективна форма виявлення найбільш талановитих учнів, студентів. Це яскраво продемонстрували, наприклад, Соросівські Олімпіади з математики, фізики, хімії, біології (на базі кафедри математики ОДЕкУ проводились 2 тур 4 і 5 Соросівських Олімпіад в 1996 і 1997 рр.).
ДЕЯКІ ПИТАННЯ МЕТОДИКИ ВИКЛАДАННЯ
РОЗДІЛУ “РЯДИ” КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
В.М. Дрибан, Г.Г. Пеніна
м. Донецьк, Донецький державний університет економіки і торгівлі ім. М. Туган-Барановського
Після визначення ряду ми розглядаємо ряд
1–1+1–1+... (1)
З одного боку,
1–1+1–1+...=(1–1)+(1–1)+...=0.
З іншого боку,
1–1+1–1+...=1–(1–1)–(1–1)–...=1.
Можна запропонувати і такий варіант:
1–1+1–1+...= S,
1–(1–1+1–1+...)= S.
1– S=S,
S=1/2.
Створюється проблемна ситуація, і лектор пропонує знайти помилку в обчисленнях. Як правило, студенти знайти помилку не можуть. Лектор інформує студентів про дискусію з приводу цього ряду, що була на початку XVII – середині XVIII в. в. У той час виниклу суперечність не могли розв’язати навіть такі великі математики, як Лейбніц, Ейлер та інші. Італійський математик Гранді трактував виниклу рівність
0+0+0+…=1/2
як створення світу з нічого.
Лейбніц брав перший член, суму двох, трьох і т.д. членів і одержував суми 1, 0, 1, 0,… Отже, говорив він, найбільш ймовірне значення суми – середнє арифметичне 1/2. При цьому він посилався на “закон справедливості”, що нібито існує у світі. Правильне розуміння (визначення) суми ряду прийшло значно пізніше.
Практика показує, що такий вступ забезпечує інтерес студентів до вивчення рядів і має велике значення в педагогічному відношенні.
Лектор констатує, що говорити про суму ряду в звичайному розумінні суми не можна, тому що процес додавання ніколи не може бути закінчений. Можна запропонувати студентам згадати, чи не зустрічалися вони з рядами у шкільному курсі математики. Часто студенти згадують нескінченно спадаючу геометричну прогресію, але визначення її суми, як правило, не пам’ятають. Лектор нагадує це визначення і говорить, що воно береться як визначення суми ряду в загальному випадку. Важливо показати студентам, що це визначення є природним узагальненням звичайної суми на нескінченну множину доданків. У той же час з цього визначення випливає, що будь-яка сума скінченого числа членів є частковим випадком суми ряду. Дійсно, якщо приписати до суми
S k =U 1 +U 2 +...+U k
нескінченну множину нулів, одержимо ряд
U 1 +U 2 +...+U k +0+0+...+0+...,
який збігається і має суму, що дорівнює S k :
.
Це важливе зауваження не робиться в підручниках.
Після цього слід повернутися до ряду (1), показати, що він розбігається, і проаналізувати різні способи “знаходження його суми”. Так як ряд – це не “звичайна сума”, то не можна вважати, що він має властивості скінченої суми, зокрема, асоціативну властивість. Студенти з самого початку повинні засвоїти, що
U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +...
та
( U 1 +U 2) +( U 3 +U 4) +...–
це, взагалі кажучи, два різних ряди.
Бажано, щоб студенти самі знайшли помилку у випадку, коли було “доведено”, що сума ряду (1) дорівнює 1/2.
Далі корисно запропонувати студентам знайти, наприклад, суму ряду
Студенти переконуються, що відшукання суми ряду – дуже непроста задача. Після цього лектор інформує студентів, що збіжні ряди дуже часто зустрічаються при вирішенні практичних задач і значення їх засноване саме на тій обставині, що вони мають суму. Крім того, виявляється, що для рядів, що збігаються, справедливий асоціативний закон, так що з ними зручно оперувати. От чому важливо вміти визначати, чи даний ряд збігається, чи ні (навіть якщо не вдається знайти його суму).
Так виникає проблема відшукання ознак, що дозволяли б вирішувати питання про збіжність або розбіжність конкретного ряду обхідним шляхом, не заснованим на визначенні суми ряду. Але перш ніж звернутися до розгляду таких ознак, треба, на наш погляд, попередити студентів про одну поширену помилку, а саме: ряд, члени якого спадають, збігається. Студентам буде цікаво почути, що такої думки додержувалися у свій час Ейлер і Даламбер, але не слід забувати, що тоді не існувало поняття границі, тобто і сучасне поняття суми ряду. Ці поняття були введені значно пізніше.
Після введення понять збіжності та розбіжності рядів наступним важливим етапом в історичному розвитку теорії рядів було визначення понять абсолютної та умовної збіжності (Коші, Абель, Діріхле, Ріман). Завдяки цим вченим була переборена схильність до аналогій між властивостями скінчених сум та рядів, яка ще тяжіла у свідомості математиків ХІХ в.
Схильність до таких аналогій є й у студентів. Це зобов’язує лектора акцентувати увагу студентів на різниці в природі абсолютно й умовно збіжних рядів. На відміну від умовно збіжних рядів, для яких справедливий лише асоціативний закон, для абсолютно збіжних рядів справедливий і комутативний закон, що дозволяє обходитися з абсолютно збіжними рядами як із сумами скінченого числа доданків. Це дуже зручно для практичного використання рядів. В зв’язку з цим зробимо два зауваження.
Тому що, за визначенням, поняття абсолютної й умовної збіжностей відносяться лише до знакозмінних рядів, варто привернути увагу студентів, що для збіжних рядів з додатними членами також справедливі комутативний та асоціативний закони. При цьому сума ряду не змінюється. Цей момент не підкреслюється в підручниках. У переважній більшості підручників не підкреслюється також і той факт, що для абсолютно збіжних рядів справедливий асоціативний закон.