»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен. Страница 30

Комп’ютернО-ОРІЄНТОВАНА МЕТОДИКА

вивчення диференціальних рівнянь

В.І. Клочко

м. Вінниця, Вінницький державний технічний університет

Проблеми вивчення курсу вищої математики пов’язують із високим рівнем абстракції, складною логічною структурою означень, теорем, методів, а в останній період із браком навчального часу. Ці проблеми зумовлені в першу чергу особливостями математики як предмету, психологічними особливостями розумової діяльності студентів, рівнем методичного забезпечення процесу навчання.

Важливим фактором усвідомленого вивчення математики, підвищення інтересу, організації індивідуальної навчальної діяльності, скорочення непродуктивних витрат часу на допоміжні роботи, розвитку творчої активності та здібностей студентів, підвищення унаочнення, виразності, доступності навчального матеріалу, моделювання фізичних явищ, технологічних процесів є використання комп’ютерних технологій.

Серед математичних пакетів, які можуть бути використані на заняттях при вивченні теми “Диференціальні рівняння”, вибрано DERIVE, MathCAD, Maple, Mathematica. При вивченні ДР на спеціальностях будівельного, машинобудівельного напрямків можуть бути використані демонстраційні програми пакета BUDMECH [1], в якому мультиплікація ефективно ілюструє процеси вільних незатухаючих коливань, вільних коливань при урахуванні сил опору, коливання у випадку резонансу тощо. Отримання необхідних чисельних значень динамічних характеристик рухів матеріальної точки можна одержати за допомогою автоматизованої контролюючо-навчальної системи (АКНС) [1]. Проте за допомогою даних пакетів не можна організувати діяльність студента спрямовану на вивчення певних класів диференціальних рівнянь (ДР), аналіз, експеримент з процесом, який описується відповідними ДР. Реалізувати дану дидактичну задачу викладач може за допомогою пакетів Mathematica, MathCAD, Maple та інших. Мовою пакетів створюється програмний продукт, який реалізує процес розв’язання ДР, візуалізує розв’язок у вигляді анімації. Студент управляє процесом шляхом змінювання параметрів ДР. Так, програма DFMACH [2] унаочнює траєкторію руху м’яча, кинутого горизонтально і який відскакує від вертикальної стінки. Студент може прослідкувати різні траєкторії в залежності від заданих ним швидкості руху, маси, прискорення.

Взагалі кажучи, вибір того чи іншого пакета викладач узгоджує із спеціальною кафедрою.

Спочатку на прикладі застосування пакета DERIVE покажемо, як можна знайти загальний та частинний розв’язок ДР першого порядку. З цією метою завантажується файл ODE1.mth:

File/ Open/ODE1.mth/Open/# № /Edit/ відредагувати функцію.

Файл містить значну кількість функцій для розв’язання основних типів ДР, які передбачені програмою з курсу вищої математики. Наведемо деякі з них. Рівняння з відокремлюваним змінними y'=p( x) q( y) розв’язується за допомогою функції SEPARABLE_GEN(p,q,x,y,c) . Якщо розглядається задача Коші y'= p( x) q( y), y( x ₀) =y ₀, то вона розв’язується за допомогою функції SEPARABLE(p,q,x,y,x ₀ ,y ₀ ) .

Аналогічні функції дають можливість розв’язати ДР у повних диференціалах, однорідні, лінійні і інші типи. Нижче наведено приклади розв’язання ДР першого порядку за допомогою ODE1.mth.

При вивченні рівнянь з відокремлюваними змінними рекомендується функція SEPARABLE_GEN(p,q,x,y,c), причому, ДР необхідно звести до вигляду dy/dx=p( x) q( y) .Тобто, перш ніж застосовувати ту чи іншу функцію пакета, студент вимушений спершу визначити тип ДР, скориставшись методом наукового пізнання – класифікацією. При цьому студенти частіше спілкуються один з одним щодо предмету та процесу вивчення ДР. Розв’язок одержується у вигляді загального розв’язку або загального інтеграла Ф( x, y, c)=0. В деяких випадках за допомогою команди Solve/Algebraically , розв’язавши рівняння Ф( x, y, c)=0, можна одержати загальний розв’язок y=?( x, c) або x=?( y, c).

Якщо за допомогою тієї чи іншої функції не вдається знайти розв’язок ДР, система повертає повідомлення «inapplicable»(не застосовується).

Інші функції системи дають можливість розв’язати ДР першого порядку спеціальних видів. Якщо в кінці імені функції стоїть слово GEN , то така функція повертає загальний розв’язок. Вказані функції також повертають загальний розв’язок, якщо початкові умови задано у символічному вигляді.

За допомогою деяких функцій можна подати графічне зображення розв’язків. Якщо розв’язок одержано у неявному вигляді, то за допомогою послуги SOLVE в деяких випадках можна знайти його у явному вигляді.

В системі Maple VДР розв’язуються за допомогою інструментального пакета DEtools . Проте на відміну від системи DERIVEв системі Maple Vреалізовано неявний підхід, тобто в системі DERIVEдля розв’язання звичайних ДР спершу необхідно визначити його тип, а потім застосувати відповідну функцію.

Функція розв’язання ДР пакета DEtools має таку структуру:

dsolve(deqns, vars, option),

де

deqns – одне рівняння або система, яка складається із систем ДР першого порядку; можуть бути задані початкові або крайові умови;

vars – змінні, відносно яких розв’язується рівняння;

option – параметр, який вказує на метод розв’язання: exact – аналітичний розв’язок (приймається за погодженням), explicit – розв’язок у явному вигляді, laplace – застосування перетворення Лапласа, series – розв’язок рівняння у вигляді степеневого ряду, numeric – чисельний метод розв’язування ДР.

Якщо знаходиться загальний розв’язок ДР першого або вищого порядку, то він містить константи, які мають вигляд _C1, _C2і т.д. Наведені константи можуть входити у розв’язок ДР, якщо за допомогою системи Maple Vрозв’язується задача Коші або крайова задача із меншою кількістю умов, ніж порядок ДР.

de:=diff(y(x),x)=-(3*x^2+6*x*y(x)^2)/(6*x^2*y(x)+4*y(x)^3);

dsolve(de,y(x));

dsolve({diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)-4*y(x)=0,y(0)=0, D(y)(0)=3} ,y(x));

dsolve({diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)-4*y(x)=0,y(0)=0},y(x))

Якщо розв’язок ДР знайдено у неявному вигляді, то в структуру входить параметр – С.

Функції системи Maple Vдають можливість шляхом заміни змінної зводити дане рівняння до рівнянь, метод розв’язання яких може бути відомим. Наведемо приклади перетворення ДР за допомогою засобів системи Maple V.

Приклад.Доведіть, що ДР x ³ y'–x ⁶ y ² –(2 x–3) x ² y+3 =0 за допомогою підстановки y=–u'/( x ³ u) зводиться до лінійного однорідного ДР зі сталими коефіцієнтами u''–2 u'–3 u=0 .

Вводиться ДР. Далі вводиться функція перетворення.

Функція Dchangevar(eqns,h) пакета DEtools виконує перетворення ДР, а за допомогою функції simplify спрощується вираз.

l:=simplify(Dchangevar(eqns,h));