Строительство и архитектура в Древнем Египте - Сомерс Кларк. Страница 51

Помимо знака ре у египтян был еще один, обозначавший дробь ¹/₂ или, как это ни странно, знак, обозначавший ²/₃, что в реальности означало «две части» (из трех), и еще один для ³/₄. Значок ²/₃ играл очень важную роль в египетской арифметике, а вот значок ³/₄ совсем, по-видимому, не использовался, кроме как, вероятно, в метрологии.

Самыми важными расчетами для египтянина были те, в которых применялись деление и умножение, причем деление представляло большие сложности.

Для того чтобы ускорить процесс деления, египтяне составляли таблицы, в которых записывались серии ре-дробей, где число 2 делилось на все нечетные числа до 101. Писцы использовали эти таблицы так же часто, как мы – таблицы логарифмов. Существовали, по-видимому, и другие таблицы, в которых приводились значения ²/₃ разных чисел, хотя мы не знаем, как они выглядели. И только в поздние времена появились таблицы со значениями дробей 1: 7, 2: 7 [58], 3: 7 и т. д., как суммы делителей [59].

Раскладывание числа 2, деленного на нечетные числа от 5 до 47, таковы:

Не всегда понятно, почему египтяне предпочли именно эти значения для деления 2, хотя имеется много других. По-видимому, эти таблицы были составлены с учетом опыта многих поколений, а приведенные значения дробей – наиболее легкими для использования.

Таким образом, египетский метод умножения и деления представлял собой систему проб и ошибок, состоявших из удвоения, деления на две части и умножения на две трети. Сначала определяли две трети какого-то количества и уже на основе этого, в случае необходимости, вычисляли одну треть, одну шестую и т. д. Процесс определения двух третей от целого числа не представлял особых трудностей. Что касается дробей, то древний метод заключался в прибавлении половины к одной шестой части. Так, ²/₃ от ¹/₅ равняется ¹/₁₀ + ¹/₃₀, аналогичным образом, ²/₃ от составляло ¹/₂₂ + ¹/₆₆. Почему египтяне в первую очередь не определяли одну треть нужного количества, мы не можем объяснить. Умножение на число, превышавшее 2 (за исключением 10), производилось, вероятно, очень редко. Папирус Ринд, представляющий собой более или менее продвинутую работу, почти не приводит примеров простого умножения или деления. Повсюду видно странное стремление все усложнять, и почти везде опущены этапы, очевидные для египтян, но часто непонятные для современного ума. Ниже приводятся примеры простого умножения и деления, выполненных древним способом, которые содержатся в папирусе Ринд и помогут читателям понять, в чем заключается проблема, поскольку ряд этапов в этих операциях опущен.

(Способ сложения дробей объясняется ниже.) [60]

2) Получить 49 из 11 (разделить 49 на 11) 1 (умноженное на 11 дает) 11

Два, полученное из 11, – это ¹/₆ ¹/₆₆ Найдено (см. таблицу дробей)

Сколько двоек укладывается в 5

Ответ 2¹/₂

Умножить ¹/₆ ¹/₆₆ на 2¹/₂

Всего 2¹/₂» Ответ: ¹/₃ ¹/₁₁ ¹/₃₃

Прибавить число 4 Конечный ответ 4¹/₃ ¹/₃₃.

Мы видим, что решение заключается в следующем: 1) сначала выясняют, сколько раз 11 содержится в 49 и каков остаток, 2) а затем, зная значение 2: 11, находят, умножая его на 2¹/₂, значение остатка, или 5, разделенное на 11.

3) Задача № 30 из папируса Ринд

Если писец говорит тебе:

«10 стало ²/₃ ¹/₁₀ от какого числа?

То пусть он услышит:

Ты используешь ²/₃ ¹/₁₀, чтобы определить 10 [61]

Всего, количество, которое называет это 13¹/₂₃.

(Доказательство)

Всего 10

Следует отметить, что процесс сложения дробей и определения, каким образом дробь ²/₃ ¹/₁₀ составляет ¹/₃₀, не приведены. Другие задачи, однако, приводят весь ход сложения дробей, который в принципе мало отличается от современного способа приведения их к общему знаменателю. В задаче № 32, приведенной в папирусе Ринд, необходимо сложить целый ряд дробей, чтобы доказать, что их сумма равна ¹/₄. Процесс решения заключается в следующем [62]:

Всего: 228 (т. е.) ¹/₄

Профессор Пит объясняет ход решения тем, что «все дроби или делители, по-видимому, были приведены к самому большому делителю, а именно к 912: под каждой дробью красным написано число, показывающее, сколько раз число 912 входит в него. Как мы видим, это число не всегда является целым. Этот этап, должно быть, требовал подсчетов, которые в задачах на папирусе всегда опускаются. Красные числа суммируются и дают 228, которое представляет собой ¹/₄ от 912. Таким образом, сумма всех дробей действительно составляет ¹/₄…».

В задаче № 30 папируса Ринд, которую мы привели выше, процесс сложения дробей гораздо более простой и, по-видимому, выглядел так:

Сумма (для дробей) составляет 29, давая результат суммы дробей, равный единице без ¹/₃₀, а для всей задачи сумму, близкую к 10.

Второй этап решения задачи, который опускается при ее описании, заключается в определении, сколько раз ¹/₃₀ входит в ²/₃ ¹/₁₀. Это выясняется путем обычного деления, и ход решения мог быть таким:

С другой стороны, вполне возможно, что египтянин мог сразу определить, что три раза по ¹/₃₀ составляет ¹/₁₀, и его подсчеты могли быть такими:

Профессор Пит объясняет этот этап так: «Поскольку ²/₃ ¹/₁₀ равно ²³/₃₀ – а это действие полностью опущено, то ответ должен быть ¹/₂₃». Выполнение этого действия в ходе цепи рассуждений заставило, по-видимому, профессора решить, что египтянин понимал, что означает ²³/₃₀, или представлял себе эту дробь как 23 части из тридцати. Это является логическим выводом из его метода сложения дробей путем приведения их к общему знаменателю. Если бы это было так, он смог бы выразить эту дробь только в виде ряда множителей, который мог при необходимости восполнить дробью ²/₃.