Конструкции, или почему не ломаются вещи - Гордон Джеймс Эдвард. Страница 57

Эйлер имел немецко-швейцарское происхождение, в его семье были известныематематики. Он рано приобрел имя в той же области, и еще очень молодым былприглашен Екатериной II в Россию. Большую часть жизни он провел при дворе вПетербурге, лишь по временам, в моменты острой политической ситуации, находяпристанище у Фридриха II в Потсдаме. Жизнь при дворах просвещенных деспотов всередине XVIII в. была, должно быть, интересна и колоритна, однако вмноготомных сочинениях Эйлера мы не найдем каких-либо упоминаний об этом.Насколько я мог выяснить, ни одному из его биографов не удалось установить хотябы одного случая или происшествия в его жизни, которые могли бы удовлетворитьобычное человеческое любопытство [103]. Он просто в течение оченьмногих лет постоянно занимался математикой, описывая свои результаты в огромномколичестве научных статей, которые и после его смерти все еще публиковались втечение сорока лет.

Конечно, Эйлер совсем не собирался заниматься несущей способностью сжатогостержня как конструкционного элемента. Просто среди многих других своихматематических открытий он изобрел то, что теперь называется вариационнымисчислением, и он искал задачи, к которым можно было бы применить этот новыйматематический метод. Один из его друзей предложил попробовать этот метод дляопределения наименьшей высоты тонкого вертикального стержня, при которой этотстержень начнет выпучиваться под собственным весом. Такая формулировка этой неочень реальной задачи объясняется тем, что, как мы уже упоминали в гл. 2понятия напряжения и деформации возникли лишь в значительно более поздниевремена. Для ее решения нужно было применить вариационный метод. Еслипереложить полученный Эйлером результат на современный язык, то получится то,что сейчас называется формулой Эйлера для критической нагрузки потериустойчивости продольно сжатого стержня, а именно:P=?²(EI/L²), где P - нагрузка, прикоторой выпучиваются стержень или панель; E - модуль Юнга материала;I - момент инерции поперечного сечения стержня или панели (гл. 10);L- длина стержня. Естественно, все эти величины должны быть выражены в одной и той же системе единиц. (Удивительно, что так много важных расчетных формулимеют столь простой вид [104].)

Формула Эйлера применима к длинным и тонким колоннам и стержням всехвидов - как сплошным так и пустотелым, а что, быть может, и более важно- к тонким панелям и пластинам, которые встречаются в конструкциях самолетов,кораблей и автомобилей. Если мы построим график зависимости критическойнагрузки стержня или панели от длины, то получится нечто похожее на рис.142, на котором показаны два возможных механизма разрушения.

Короткие стержни разрушаются описанным выше путем с образованием бочкиили дроблением на мелкие куски. Когда отношение длины к толщине стержнядостигает величины 5-10, эта линия пересекает кривую, соответствующую эйлеровойформе потери устойчивости. Теперь более опасным становится выпучивание,и длинный стержень выходит из строя вследствие выпучивания. В действительностипереход от разрушения материала к потере устойчивости происходит не такрезко, существует некая переходная область, отмеченная на рис. 142 пунктиром.

Рис. 142. Зависимость предельного сжимающего напряжения от длины стержня.

Приведенная выше формула Эйлера относится к тому случаю, когда стерженьили панель имеют шарнирное закрепление и могут свободно поворачиваться(рис. 143). Обычно все, что препятствует концам стержня или панели поворачиватьсяприводит к увеличению критической нагрузки потери устойчивости. В крайнемслучае, когда оба конца стержня жестко заделаны, его критическая нагрузкаувеличивается в 4 раза. Очень часто, однако, для жесткой заделки необходимосущественное стеснение концов, а это приводит к увеличению веса, сложностии стоимости всей конструкции, поэтому она становится невыгодной.

Рис. 143. Различные условия эйлеровой формы потери устойчивости.а - оба конца шарнирно оперты;б - оба конца заделаны;в - один конец заделан, а второй шарнирнооперт и может перемещаться в горизонтальном направлении.

Далее, жесткая заделка концов передает любые монтажные несоосности самомустержню. При этом стержень может оказаться изогнутым еще до нагруженияи его предельная нагрузка упадет. Вот почему жесткая установка мачты, прикоторой она одновременно крепится и к палубному перекрытию, и к килю, сейчасуже вышла из употребления (рис. 144).

Рис. 144. Изогнутый до нагружения стержень (в данном случае мачта) теряетустойчивость при меньшей нагрузке.

Следует отметить, что в выписанную нами формулу Эйлера не входит пределпрочности материала. Нагрузка, при которой стержень или панель данной длинытеряет устойчивость, зависит только от момента инерции сечения I имодуля Юнга (жесткости) материала. Длинный стержень не разрушается привыпучивании. Он только упруго изгибается таким образом, чтобы "выскользнуть"из-под нагрузки. Если при выпучивании не был достигнут "предел упругости"материала, то после снятия нагрузки стержень опять выпрямится, и, спружинив,как ни в чем не бывало примет свою прежнюю форму.

Это свойство часто может быть весьма полезным, поскольку, основываясьна нем, можно создавать "неразрушающиеся" конструкции. Ковры и ковровыедорожки не портятся именно по этой причине, и природа, конечно же, широкоиспользует этот принцип, особенно в отношении низкорослых растений, напримертравы, которую всегда довольно трудно вытоптать. Так, мы спокойно гуляемпо лужайке, не причиняя ей большого вреда. Именно гениальная комбинацияострых колючек с открытием д-ра Эйлера делает живую изгородь одновременнонеразрушаемой и труднопреодолимой для людей и скота. С другой стороны,для комаров и других насекомых, использующих в качестве оружия длинноеи тонкое жало, природа вынуждена была "изобрести" прямо-таки невообразимоеколичество самых разных конструкционных уловок, чтобы предотвратить потерюустойчивости этих тонких, жалящих нас стержней.

При жизни Эйлера его формула не могла найти сколько-нибудь значительногоиспользования в технике. Практически ее могли применить лишь при проектированиикорабельных мачт и других стоек. Однако корабельные мастера тех временуже справились с этой проблемой. В замечательных справочниках XVIII в.по кораблестроению, таких, как "Основы изготовления мачт, парусов и такелажа"Стила, содержатся подробные таблицы, где приведены размеры брусьев любоготипа, основанные на опыте, и сомнительно, чтобы эти рекомендации моглибыть существенно улучшены с помощью вычислений.

Серьезный интерес к явлению потери устойчивости возник лишь столетие спустя ибыл связан с возросшим использованием листовой стали. Стальные листы были,естественно, тоньше, чем каменная кладка и деревянные детали, к которым такпривыкли инженеры. В 1848 г. при постройке железнодорожного моста через проливМенай [105]расчеты на устойчивость впервые делались для серьезных практических целей. Этотмост явился совместным детищем трех выдающихся людей: Роберта Стефенсона(1802-1859), Итона Ходжинсона (1789-1861), математика и одного из первыхпрофессоров-инженеров, и Вильяма Фейрберна (1789-1874), пионераконструкционного использования листовой стали.

Подвесные мосты Стефенсона оказались неудачными из-за своей излишнейгибкости. К тому же адмиралтейство настаивало, и не без оснований, на тридцатиметровойвысоте пролета, чтобы под мостом могли проходить корабли. Удовлетворитьтребованиям как жесткости, так и высоты можно было лишь единственным путем- спроектировав мост балочного типа невиданной до этого длины. По рядусоображений наилучшим вариантом казалась балка в форме трубы, собраннаяиз листовой стали, внутри которой двигался бы поезд. Длина каждой секциидолжна была составлять около 140 м.