Теория струн и скрытые измерения вселенной - Яу Шинтан. Страница 51

В частности, Дистлер, Грин и независимо от них Гепнер обнаружили, что для многообразий определенного размера и формы можно рассчитать все корреляционные функции, представляющие собой набор математических выражений, которые, будучи сведены воедино, полностью характеризуют конформную теорию поля. Иными словами, результатом стала возможность представить связь между конформной теорией поля и многообразиями Калаби-Яу в строгих и исчерпывающих понятиях, путем определения как типа конформной теории поля со всеми корреляционными функциями, так и точного размера и формы соответствующего многообразия Калаби-Яу. Таким образом, ограниченному классу многообразий Калаби-Яу, известных на сегодняшний день, стало возможным сопоставить соответствующую модель Гепнера.

Эта связь, нашедшая надежное подтверждение в конце 1980-х годов, помогла опровергнуть мнение относительно бесполезности многообразий Калаби-Яу. Как сказал Качру, «можно не сомневаться в существовании предложенных им [Гепнером] конформных теорий поля, поскольку они являются полностью разрешимыми, в том числе и в численном виде. И если истинность этих теорий не вызывает сомнений, а их свойства аналогичны свойствам компактификаций Калаби-Яу, то в достоверности этих компактификаций также можно не сомневаться».[91]

«Статья Гепнера позволила сохранить многообразия Калаби-Яу, — утверждает Эспинволл, — по крайней мере, для физики и теории струн».[92] Более того, связь между моделью Гепнера и отдельными компактификациями Калаби-Яу помогла заложить основу для открытия зеркальной симметрии, что стало достаточным для исключения всех сомнений в том, заслуживают ли многообразия Калаби-Яу дальнейшего исследования.

Некоторые из наиболее ранних идей относительно зеркальной симметрии возникли в 1987 году, когда стэнфордский физик Ланс Диксон совместно с Гепнером установил, что различные K3-поверхности связаны с одной и той же квантовой теорией поля, что говорило о том, что эти совершенно различные поверхности связаны при помощи симметрии. При этом ни Диксон, ни Гепнер не публиковали статей по этой теме, хотя Диксон сделал несколько докладов, поэтому первой публикацией, посвященной зеркальной симметрии, по-видимому, стала вышедшая в 1989 году статья Вольфганга Лерке из Калифорнийского технологического института, Кумрана Вафы и Николаса Варнера из Массачусетского технологического института. Они доказали, что если взять два топологически различных трехмерных многообразия Калаби-Яу, то есть шестимерное многообразие Калаби-Яу вместо четырехмерной K3-поверхности, мы получим одну и ту же конформную теорию поля и, следовательно, ту же самую физику.[93] Это утверждение было более сильным, чем утверждение Диксона-Гепнера, поскольку оно связывало многообразия Калаби-Яу с различной топологией, тогда как предыдущее относилось к поверхностям с одной и той же топологией, хотя и с различной геометрией (все K3-поверхности являются топологически эквивалентными). Проблема состояла в том, что никому не был известен способ объединения многообразий Калаби-Яу в пары, связанные между собой столь странным образом. Модели Гепнера оказались ключом к разгадке — и эти же модели помогли встретиться Брайану Грину и Ронену Плессеру.

Осенью 1988 года Брайан Грин, общаясь с Вафой, — их офисы находились на одном и том же «теоретическом» этаже здания, в котором размещался физический факультет Гарвардского университета, — узнал о существовании возможной связи между различными многообразиями Калаби-Яу. Грин моментально понял, что эта теория была бы чрезвычайно важна, если бы удалось ее доказать. Он объединил усилия с Вафой и Варнером, для того чтобы лучше понять взаимосвязь многообразий Калаби-Яу с моделью Гепнера. По словам Грина, в первую очередь он, Вафа и Варнер наметили шаги перехода от модели Гепнера к определенному многообразию Калаби-Яу.[94] Исследователям удалось разработать «алгоритм, показывающий, почему и как связаны эти многообразия. Дайте мне модель Гепнера, и я в мгновение ока смогу показать вам, какому многообразию Калаби-Яу она соответствует».[95] В статье Грина, Вафы и Варнера объяснялось, почему каждая модель Гепнера приводит к компактификации Калаби-Яу. Их анализ подтвердил догадки о согласовании моделей Гепнера с многообразиями Калаби-Яу, ранее сделанные самим Гепнером на основании рассмотрения таблиц многообразий Калаби-Яу и выбора из них тех многообразий, которые приводили к требуемой физике.

В 1989 году, когда связь между моделями Гепнера и многообразиями Калаби-Яу была установлена окончательно, Грин объединился с Плессером в надежде на дальнейшее продвижение. Одним из первых выводов, который им удалось сделать, по словам Грина, стал вывод о том, что «теперь мы имели мощный инструмент для анализа чрезвычайно сложной геометрии [Калаби-Яу] в виде теории поля, которую мы полностью контролируем и полностью понимаем»[96]. Их заинтересовал вопрос о том, что произойдет, если они слегка изменят модель Гепнера. Как они полагали, измененная модель будет соответствовать немного отличному многообразию Калаби-Яу. Для начала они применили к модели Гепнера преобразование, отвечающее вращательной симметрии, подобно повороту квадрата на 90 градусов. Эта операция оставила теорию поля неизменной. Однако, выполнив то же преобразование для многообразия Калаби-Яу, они получили многообразие с совершенно иной топологией и совершенно иной геометрией.

Иными словами, преобразование, отвечающее вращательной симметрии, изменило топологию многообразия Калаби-Яу, оставив неизменной сопутствующую ей конформную теорию поля. В результате теперь двум многообразиям Калаби-Яу с совершенно различной топологией можно было сопоставить одну и ту же физическую теорию. «Это, коротко говоря, и называется зеркальной симметрией», — поясняет Гепнер.[97] Используя более общее понятие, можно также определить это свойство как дуальность, смысл которой состоит в том, что два объекта, с виду не имеющие отношения друг к другу, в данном случае — два многообразия Калаби-Яу, тем не менее порождают одну и ту же физику.

Первая статья Грина и Плессера по теме зеркальной симметрии описывала десять так называемых зеркальных партнеров, или зеркальных многообразий, обнаруженных среди нетривиальных и не являющихся совершенно плоскими многообразий Калаби-Яу, начиная с простейшего случая — трехмерной поверхности пятого порядка. Наряду с еще девятью примерами в этой статье содержалась формула, дающая возможность получить зеркальные пары для любой модели Гепнера, — на сегодня число подобных пар составляет сотни, если не тысячи.[98]

Зеркальные многообразия имеют ряд интереснейших свойств, проявляющихся при сопоставлении объектов, которые ранее казались не имеющими отношения друг к другу. К примеру, Грин и Плессер обнаружили, что одно из многообразий Калаби-Яу может иметь 101 вариант формы и только один вариант размера; зеркальное же многообразие, напротив, будет иметь 101 вариант размера и единственный вариант формы. Многообразия Калаби-Яу могут иметь дырки различной размерности — как нечетной, так и четной. Грину и Плессеру удалось обнаружить любопытное взаимоотношение между зеркальными парами: число дырок нечетной размерности в многообразии равно числу дырок четной размерности в его зеркальном партнере, и наоборот. «Это означает, что общее число дырок… в обоих многообразиях одинаково, даже несмотря на то, что замена дырок четной размерности на дырки нечетной размерности приводит к совершенно различным формам и геометрическим структурам», — замечает Грин.[99]

Рис. 7.1. Брайан Грин (© Андреа Кросса)

Рис. 7.2. Ронен Плессер (Duke Photography)

Рис. 7.3. Двойной тетраэдр, имеющий пять вершин и шесть граней, и треугольная призма, имеющая шесть вершин и пять граней, являются простыми примерами зеркальных многообразий. Эти привычные всем многогранники, в свою очередь, можно использовать для создания многообразия Калаби-Яу и его зеркальной пары, причем число вершин и граней многогранника будет определять внутреннюю структуру соответствующего многообразия Калаби-Яу. Подробности процедуры «конструирования» многообразия носят скорее технический характер, выходящий за рамки этого обсуждения