Теория струн и скрытые измерения вселенной - Яу Шинтан. Страница 56

Я вернулся в Гарвард, вдохновленный открывшейся возможностью, и сразу же обсудил ее с Заслоу, физиком, перешедшим в математику, который в то время был моим постдоком. Вскоре Строминджер приехал из Санта-Барбары в Гарвардский университет, руководство которого развернуло активную кампанию по переманиванию его в свои ряды. Впрочем, для того чтобы Строминджер принял окончательное решение о переходе, понадобился еще год. Итак, мы втроем смогли встретиться, соединив тем самым буквы S, Y и Z в одном и том же месте, в одно и то же время — и, впоследствии, на одной и той же странице статьи, поданной нами в печать в июне 1996 года.

Окажись гипотеза SYZ верной, это стало бы аргументом в пользу существования подструктуры многообразий Калаби-Яу, что привело бы к более глубокому пониманию их геометрии. Согласно этой гипотезе, многообразие Калаби-Яу можно представить в виде двух трехмерных многообразий, переплетенных друг с другом. Одним из этих пространств является трехмерный тор. Отделив этот тор от другой части, «обратив» его (заменив радиус r обратной величиной 1/r) и вновь соединив части в одно целое, вы получите многообразие, являющееся зеркальным по отношению к исходному. Как утверждает Строминджер, SYZ «позволяет получить простую физическую и геометрическую картину того, чему соответствует зеркальная симметрия»[110].

Согласно гипотезе SYZ, ключ к пониманию зеркальной симметрии лежит в подмногообразиях пространств Калаби-Яу и в способе их организации. Вы, наверное, помните приведенное ранее сравнение поверхности, содержащей в себе множество подповерхностей или подмногообразий, с куском швейцарского сыра. Подмногообразия в данном случае являются не участками поверхности, а отдельными объектами с размерностью меньше размерности многообразия, представляющими собой отдельные дырки в «сыре», каждую из которых можно по отдельности покрыть чем-либо или пропустить что-либо сквозь нее. Точно так же, согласно гипотезе SYZ, и подмногообразия в пространствах Калаби-Яу обернуты D-бранами. Не хотелось бы вносить в дальнейший рассказ путаницу, но не могу не упомянуть, что существует и другое мнение, согласно которому D-браны сами являются подмногообразиями, а не просто их «упаковками». Физики предпочитают рассуждать в терминах бран, тогда как математикам удобнее пользоваться собственной терминологией. Подпространства такого типа, удовлетворяющие условию суперсимметрии, носят название лагранжевых подмногообразий и, как следует из их названия, обладают особыми свойствами: их размерность ровно вдвое меньше размерности пространств, в которых они находятся, а их мера (то есть длина, площадь, объем и т. д. — в зависимости от размерности) является минимальной.

Рассмотрим в качестве примера простейшее из возможных пространств Калаби-Яу — двухмерный тор, или бублик. В роли лагранжева подмногообразия в данном случае будет выступать одномерное пространство — объект, представляющий собой петлю, пропущенную через дырку бублика. Поскольку длина петли должна быть минимальна, петля должна точно совпадать с наименьшей из окружностей, проходящих через дырку, — варианты с петлями произвольного размера, а также с волнистыми и искривленными петлями не подходят. «Все многообразие Калаби-Яу в этом случае представляет собой объединение окружностей, — объясняет Марк Гросс, человек, сделавший больше всех остальных для развития гипотезы SYZ с того момента, как она была сформулирована. — Пусть существует некое вспомогательное пространство, назовем его В, несущее в себе информацию обо всех этих окружностях и само по себе являющееся окружностью».[111] Говорят, что В параметризирует этот набор окружностей, то есть каждой точке на В соответствует определенная окружность, а каждой окружности, проходящей через дырку бублика, — определенная точка пространства В. Можно представить это и по-другому, сказав, что пространство В, называемое пространством модулей, является в определенном смысле каталогом подпространств, из которых состоит многообразие. При этом В — не просто список: помимо «перечня подпространств» оно содержит и информацию об их расположении. По словам Гросса, пространство модулей В может стать ключом ко всей гипотезе SYZ. Поэтому стоит потратить еще немного времени, чтобы разобраться поподробнее со вспомогательными пространствами.

Если добавить еще одно комплексное измерение, перейдя таким образом от двух вещественных измерений к четырем, многообразие Калаби-Яу превратится в K3-поверхность. Подмногообразия, в свою очередь, в этом случае являются уже не окружностями, а двухмерными торами, соединенными в единое целое в рамках многообразия. «Изобразить четырехмерное пространство мне не под силу, — говорит Гросс. — Но я могу описать пространство В, указывающее на то, в каком порядке расположены составляющие его подмногообразия (бублики)».[112] В этом случае пространство В представляет собой просто двухмерную сферу. Каждая точка этой сферы соответствует отдельному бублику, за исключением двадцати четырех «плохих» точек, соответствующих «сжатым бубликам», имеющим сингулярности, смысл которых будет вкратце объяснен далее.

Добавим еще одно комплексное измерение, превратив рассматриваемое многообразие в трехмерное многообразие Калаби-Яу. Пространство В теперь превратится в трехмерную сферу (трехмерную поверхность мы изобразить не в состоянии), а ее подпространства — в трехмерные бублики. В этом случае набор «плохих» точек, соответствующих сингулярным бубликам, приходится на линейные сегменты, связанные друг с другом подобием сети. «Все точки линейного сегмента являются “плохими” [или сингулярными], однако те из них, которые лежат в вершинах сети, в местах пересечения сразу трех линейных сегментов, являются совсем плохими», — говорит Гросс. Эти точки, в свою очередь, соответствуют наиболее искаженным бубликам.[113]

Рис. 7.9. Гипотеза SYZ, названная в честь ее авторов, Эндрю Строминджера, автора данной книги (Шинтана Яу) и Эрика Заслоу, предлагает способ разложения сложного пространства, такого как многообразие Калаби-Яу, на составные части, или подмногообразия. Хотя мы не в силах изобразить шестимерное многообразие Калаби-Яу, вместо этого мы можем нарисовать двухмерное (имеющее два вещественных измерения) пространство Калаби-Яу, представляющее собой бублик с плоской метрикой. Подмногообразия, образующие бублик, являются окружностями, и их порядок определяется вспомогательным пространством В, также представляющим собой окружность. Каждая точка на В соответствует определенной окружности; и все многообразие — или бублик — состоит из набора подобных окружностей

Рис. 7.10. Гипотеза SYZ предоставляет новый взгляд на K3-поверхности, являющиеся классом четырехмерных многообразий Калаби-Яу. Согласно гипотезе SYZ, мы можем создать K3-поверхность, взяв двухмерную сферу, являющуюся вспомогательным пространством в данном примере, и прикрепив к каждой ее точке двухмерный бублик

Именно здесь и проявляется зеркальная симметрия. Работая над первоначальной идеей SYZ, оксфордский геометр Найджел Хитчин, Марк Гросс и некоторые из моих бывших студентов (Найчанг Линг, Вейдонг Руан и другие) построили следующую картину. Рассмотрим многообразие X, состоящее из набора подмногообразий, перечисленных в пространстве модулей В. Теперь возьмем подмногообразия, имеющие радиус r, и заменим его на обратную величину 1/r. Одной из неожиданных, хотя и прекрасных особенностей теории струн, не присущей классической механике, является возможность провести подобную замену, а именно перевернуть радиус цилиндра, сферы или пространства, не изменив при этом их физические характеристики. Движение точечной частицы по окружности радиуса r можно описать при помощи ее момента импульса, который при этом квантуется — принимает строго определенные значения, кратные постоянной Планка — ?. Струна, движущаяся по окружности, также обладает моментом импульса, но, в отличие от точечной частицы, она может наматываться на окружность один или более раз. Число оборотов струны вокруг окружности называется ее топологическим числом. Итак, движение струны, в отличие от движения частицы, характеризуется двумя квантующимися величинами: ее моментом импульса и ее топологическим числом. Рассмотрим струну с топологическим числом, равным двум, и моментом импульса, равным нулю, движущуюся по окружности радиуса r, и струну с топологическим числом, равным нулю, и моментом импульса, равным двум (то есть 2?), движущуюся по окружности радиуса 1/r. Хотя описания этих двух случаев звучат по-разному и вызывают в воображении разные картины, с математической точки зрения оба случая идентичны и приводят к одним и тем же физическим характеристикам. Это свойство известно как T-дуальность. «Эта эквивалентность переходит с окружностей на их [декартовы] произведения — торы», — говорит Заслоу.[114] Буква T в названии «T-дуальность» и означает «торы». Строминджер, Заслоу и я сочли эту дуальность столь важной для зеркальной симметрии, что назвали нашу первую статью, посвященную гипотезе SYZ, «T-дуальность — это зеркальная симметрия».