Гиперпространство - Сапцина Ульяна Валерьевна. Страница 13

С точки зрения Римана, этот феномен указывал на то, что электричество и магнетизм — проявления одной и той же силы. Вдохновленный новыми открытиями, Риман был убежден, что мог бы дать математическое объяснение, способное объединить электричество и магнетизм. Он с головой ушел в работу в лаборатории Вебера, уверенный, что с помощью математики удастся добиться полного понимания действия этих сил.

Но, поскольку Риман был обременен подготовкой к публичному докладу о «началах геометрии», обеспечением семьи и проведением научных экспериментов, здоровье в конце концов подвело его, и в 1854 г. он пережил нервный срыв. Позднее он писал отцу: «Исследования единства всех физических законов настолько увлекли меня, что, когда тема пробного доклада была мне объявлена, я насилу оторвался от исследовательской работы. Затем, отчасти из-за размышлений о ней, отчасти ввиду постоянного пребывания в помещении в эту скверную погоду, я занемог» [13]. Это письмо имеет большое значение, так как ясно свидетельствует, что даже во время многомесячной болезни Риман твердо верил, что откроет «единство всех физических законов» и что математика со временем проложит путь к этому объединению.

Сила = геометрия

Несмотря на постоянные болезни, Риман в конечном счете изменил бытующие представления о значении силы. Еще со времен Ньютона ученые считали силу мгновенным взаимодействием удаленных друг от друга тел. Физики называли ее «дальнодействием», это означало, что некое тело способно оказывать мгновенное влияние на движение удаленных от него тел. Безусловно, ньютонова механика могла описать движение планет. Но на протяжении веков критики утверждали, что «дальнодействие» не является естественным, так как оно означало бы, что одно тело способно менять направление движения другого без соприкосновения с ним.

Риман предложил совершенно новую физическую картину. Ему представилось племя двумерных существ, подобных «книжным червям» Гаусса и живущих на листе бумаги. Но в отличие от Гаусса Риман населил этими «книжными червями» скомканный лист бумаги [14]. Что должны думать такие существа о мире, в котором они живут? Риман сообразил, что, с их точки зрения, этот мир остается совершенно плоским. Так как тела этих книжных червей тоже искривлены, они и не замечают, что их мир искажен. Однако Риман утверждал: при попытке переместиться по этому скомканному листу бумаги книжные черви ощутят воздействие таинственной, незримой силы, которая помешает им ползти по прямой. Им придется отклоняться вправо или влево каждый раз, когда впереди окажется очередная складка листа.

Таким образом, Риман сделал первое за 200 лет значимое отступление от принципов Ньютона, отказался от принципа воздействия на расстоянии. По Риману, сила — следствие геометрии.

Затем Риман заменил двумерный лист бумаги нашим трехмерным миром, «смятым» в четвертом измерении. Деформации нашей Вселенной неочевидны для нас. Но мы сразу почувствуем некий подвох, когда попытаемся идти по прямой. Мы будем двигаться словно во хмелю, как будто незримая сила тянет нас, толкает то вправо, то влево.

Риман пришел к выводу, что электричество, магнетизм и гравитация вызваны деформацией нашей трехмерной Вселенной в незримом четвертом измерении. Таким образом, сила не может существовать самостоятельно и независимо, а представляет собой лишь видимое следствие искажения геометрии пространства. Введя в рассуждения четвертое пространственное измерение, Риман случайно наткнулся на тему, которая стала одной из господствующих в современной теоретической физике, — явное упрощение законов природы в категориях многомерного пространства. И Риман приступил к работе над математическим языком, пригодным для выражения этой идеи.

Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора

Риману понадобилось несколько месяцев, чтобы оправиться от последствий нервного срыва. Его доклад, наконец прочитанный в 1854 г., приняли с воодушевлением. В ретроспективе это был, бесспорно, один из наиболее выдающихся публичных докладов в истории математики. По Европе быстро распространилось известие, что Риман решительно сбросил оковы евклидовой геометрии, которой математики подчинялись на протяжении двух тысячелетий. О докладе вскоре узнали во всех центрах образования Европы, вклад Римана в математику приветствовали повсюду в научных кругах. Доклад Римана перевели на несколько языков, он произвел фурор в математике. К евклидовой геометрии раз и навсегда перестали относиться так, как прежде.

Суть выдающегося труда Римана, как и суть многих величайших работ в области физики и математики, уловить довольно просто. Риман начал со знаменитой теоремы Пифагора, одного из важнейших достижений древнегреческих математиков. Эта теорема устанавливает соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника. Согласно ей, сумма квадратов коротких сторон, катетов, равна квадрату длинной стороны, гипотенузы; если а и b — длины катетов, ac — длина гипотенузы, тогда а² + Ь² = с². (Естественно, теорема Пифагора лежит в основе всей архитектуры; все сооружения на планете построены с ее учетом.)

Эту теорему легко сформулировать для трехмерного пространства. Она гласит, что сумма квадратов трех смежных сторон куба равна квадрату его диагонали; или если а, Ь и с — стороны куба, ad — его диагональ, тогда а² + b² + с² = d² (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Длину диагонали куба дает трехмерный вариант теоремы Пифагора: a² + Ь² + c² = d². Простого добавления новых переменных в теорему Пифагора достаточно, чтобы записать формулу для диагонали гиперкуба в N-мерном пространстве. Таким образом, несмотря на сложность визуализации высших измерений, представить N-мерность математически довольно просто.

Теперь так же просто можно сформулировать ту же теорему для N-мерного пространства. Представим себе N-мерный куб. Если а, Ь, с… — длины сторон «гиперкуба», а z — длина его диагонали, тогда а² + Ь² + с² + d² +… = z². Примечательный момент: хотя наш мозг не в состоянии представить N-мерный куб, формулу для его сторон и диагонали записать несложно. (Это типичная особенность работы с гиперпространством. С математической, точки зрения манипулировать N-мерным пространством не труднее, чем трехмерным пространством. Поразительно, как на простом листе бумаги можно математически описать свойства многомерных объектов, которые не в силах вообразить наш мозг.)

Затем Риман записал эти уравнения для пространств с произвольным количеством измерений. Эти пространства могут быть либо плоскими, либо искривленными. К плоским применяются обычные аксиомы Евклида: кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая, параллельные линии никогда не пересекаются, сумма внутренних углов треугольника составляет 180°. Вместе с тем Риман обнаружил, что поверхности могут иметь «положительную кривизну», как поверхность сферы, где параллельные всегда пересекаются и сумма углов треугольника может быть больше 180°. Бывают и поверхности с «отрицательной кривизной»: например, седлообразные или воронкообразные. На этих поверхностях сумма углов треугольника меньше 180°. Если взять линию и точку вне этой линии, то через такую точку можно провести бесконечное множество линий, параллельных данной (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Плоскость имеет нулевую кривизну. Согласно евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, параллельные не пересекаются. В неевклидовой геометрии сфера имеет положительную кривизну. Сумма углов треугольника превышает 180°, параллельные линии всегда пересекаются. (К параллельным линиям относятся дуги, центры которых совпадают с центром сферы. Широтные линии в эту категорию не входят.) У седлообразной поверхности отрицательная кривизна. Сумма углов треугольника меньше 180°. Через конкретную точку можно провести бесконечное множество линий, параллельных данной.