Пятьсот двадцать головоломок - Дьюдени Генри Эрнест. Страница 41

58. Если бы каждый бегун, достигнув верхней площадки лестницы, сделал целое число полных шагов и неукороченный последний шаг, то наименьшим возможным числом ступенек было бы, конечно, 60 (3 × 4 × 5). Но из исходного рисунка видно, что у А, шагающего через 3 ступеньки, последний шаг будет длиной лишь в одну ступеньку. Б, перепрыгивающий через 4 ступеньки, на последнем шаге преодолеет всего лишь 3 ступеньки. И К, перепрыгивающему по 5 ступенек, на последнем шаге останется перескочить только через 4 ступеньки. Следовательно, нам надо найти наименьшее число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при делении на 4 дает 3 и при делении на 5 дает остаток, равный 4. Это число равно 19. Таким образом, лестница содержит 19 ступенек, из которых только 4 не изображены на рисунке.

59. Надо заметить (и в этом ключ к решению), что человек из Б. проходит 7 км за то же время, за которое человек из Э. проходит 5 км. Пусть, к примеру, расстояние между городами 24 км, тогда они встретились на расстоянии 14 км от Э. Человек из Э. двигался со скоростью 3

км/ч, а человек из Б. — со скоростью 4⅘ км/ч. Оба закончили свой путь в 7 час. вечера.

60. Велосипедист проедет один километр за 3

мин, или со скоростью км/мин. Ветер изменяет его скорость на км/мин. Следовательно, по ветру он движется со скоростью км/мин, а против ветра — со скоростью км/мин, так что 1 км он проезжает за 3 и за 4 мин соответственно, как и утверждалось.

61. За 3

мин. Команда в стоячей воде проходит ⅕ всего расстояния в минуту, а течение — всего расстояния в минуту. Разность и сумма этих дробей равны соответственно и . Следовательно, путь против течения займет (или 8 ) мин, а по течению (или 3 ) мин.

62. Если я прошагаю 26 ступенек; то мне потребуется на спуск 30 с, а если 34, то — 18 с. Умножая 30 на 34 и 26 на 18, мы получим 1020 и 468, разность между этими числами равна 552. Разделив ее на разность между 30 и 18 (то есть на 12), мы получаем в ответе 46, число ступенек на эскалаторе, который движется со скоростью 1 ступенька за 1½ с. Скорость, с которой я двигаюсь по эскалатору, роли не играет, поскольку ступенька, с которой я схожу, достигает платформы в один и тот же момент вне зависимости от того, что я делал до этого.

63. Пусть Андерсон проедет 11

км, бросит велосипед и оставшуюся часть пути пройдет пешком. Браун будет идти пешком до тех пор, пока не подберет велосипед, а затем проедет на нем оставшуюся часть пути. При этом он прибудет в пункт назначения одновременно с Андерсоном, и весь путь займет у них 3 ч 20 мин. Можно также разделить 20 км на 9 участков по 2 км каждый, причем Андерсон должен будет ехать первым. В этом случае Андерсон проедет каждый из своих 5 участков за ч и пройдет пешком каждый из оставшихся 4 участков за ч, затратив на весь путь 3⅓ ч. Браун проедет каждый из своих 4 участков за ч и пройдет пешком каждый из оставшихся 5 участков за ч, затратив на весь путь также 3⅓ ч. Расстояния, которые проедут Андерсон и Браун соответственно, относятся друг к другу как 5 к 4, а расстояния, которые они пройдут пешком, как 4 к 5.

64. Андерсон проезжает 7

, Браун 1 , а Картер 11 км, что в сумме составляет 20 км. Они могут ехать в любом порядке, но при этом каждый должен воспользоваться велосипедом только один раз, а второй ездок должен идти пешком и до и после езды. Путешествие займет у каждого 3 ч, и, следовательно, все прибудут в пункт назначения одновременно.

65. Аткинс везет Кларка 40 км и высаживает, чтобы оставшиеся 12 км тот прошел пешком. Затем он возвращается назад, в 16 км от старта подбирает Болдуина и везет его до конца пути. Все трое тратят на дорогу 5 ч. Другое решение состоит в том, что Аткинс сначала 36 км везет Болдуина и возвращается за Кларком, прошедшим к этому времени 12 км. Мотоцикл в обоих случаях проехал по 100 км, в том числе 24 км без пассажиров.

66. Проделанное связным расстояние равно квадратному корню из удвоенного квадрата 40, прибавленному к 40, что составляет 96,568 км, или приблизительно 96½ км.

67. Относительная скорость встречных поездов составляет 600 футов в 5 с, или 81

миль/ч. Когда поезда движутся в одном направлении, то их относительная скорость составляет 600 футов в 15 с, или 27 миль/ч. Отсюда мы получаем, что скорость более быстрого поезда равна 54 миль/ч, а скорость более медленного — 27 миль/ч.

68. Существуют два расстояния, удовлетворяющих условию задачи, — 210 и 144 мили. Последней случай исключен, так как в условии сказано, что поезда движутся со скоростями, «не слишком отличающимися от обычных». (Если бы мы приняли расстояние в 144 мили, то А прошел бы 140 миль за то же время, за которое Bи Dпрошли бы 4 мили. Так что если бы последние шли со скоростью 2 миль/ч, то первый делал бы 70 миль/ч — скорость, которую, конечно, нельзя назвать «не слишком отличающейся от обычных»!) Если расстояние равно 210 милям, то окажется, что скорости Bи Dв два раза меньше скорости A, а скорость Cсоставляет ¾ скорости A, что выглядит вполне разумным.

69. Расстояние от Англчестера до Клинкертона составляет 200 миль. Поезд прошел 50 миль со скоростью 50 миль/ч и 150 миль со скоростью 30 миль/ч. Если бы поломка произошла на 50 миль дальше, то поезд прошел бы 100 миль со скоростью 50 миль/ч и 100 миль со скоростью 30 миль/ч.

70. Когда Браун оставил позади всего лишь ⅙, или

, всей дистанции, Томкинс уже прошел ⅚ минус , или , всей дистанции. Следовательно, скорость Томкинса в раза больше скорости Брауна. Брауну осталось пробежать ⅚, а Томкинсу — только ⅙ всей дистанции. Следовательно, Браун, чтобы прибежать хотя бы одновременно, должен развить скорость, в 5 раз превышающую скорость Томкинса, то есть в 5 раз большую , или бежать в раза быстрее, чем он бежал первоначально. Однако вопрос ставился не «во сколько раз», а «на сколько», а «в раза быстрее» — это все равно, что быстрее на первоначальной скорости Брауна. Правильным ответом, следовательно, будет: на 20¼ первоначальной скорости быстрее, хотя похоже на то, что такая рекомендация практически неосуществима.