Пятьсот двадцать головоломок - Дьюдени Генри Эрнест. Страница 54
Мы видели, что если колесо делает один полный оборот, при котором Aпопадает в B, то расстояние ABравно длине окружности, хотя и не можем выразить его точно. Далее, точка Aдвижется по кривой, показан- ной на рисунке, которая, как я уже говорил, называется простой циклоидой. Если диаметр колеса равен 28 см, то мы в состоянии точно вычислить длину этой кривой. Любопытно, что, не умея точно выразить длину прямолинейного отрезка AB, мы тем не менее можем найти точную длину кривой! Чему она равна? Я дам ответ немедленно. Длина циклоиды в 4 раза больше длины диаметра. Следовательно, 4 × 28 равно искомой длине — 112 см. Кроме того, площадь фигуры, ограниченной этой кривой и отрезком AB, ровно в 3 раза больше площади круга. Следовательно, площадь каждой из замкнутых фигур, находящихся по обе стороны круга, равна площади круга.
291. Разумеется, каждая часть колеса вращается вокруг оси с постоянной скоростью, и, следовательно, в случае неподвижнойоси, как, например, у точильного круга, ответ будет отрицательным. Однако в случае движущегосявелосипеда не вызывает сомнений тот факт, что верхняя часть колеса движется относительноземли быстрее нижней. Если бы дело обстояло иначе, то велосипедист оставался бы на месте, подобно точильному кругу.
Взгляните на рисунок, где изображены четыре положения колеса, которые оно занимает за время полного оборота от A 1до A 4. Я уже упоминал об одной кривой, называемой простой циклоидой, которую описывает точка на ободе колеса. Здесь показаны две такие кривые, описываемые точками A 1и B 1. Обратите внимание, что за пол-оборота A 1пройдет до A 3, а B 1 — до B 3равные расстояния. Но ни одна точка не движется все время с постоянной скоростью. Это можно сразу же заметить, если мы рассмотрим четверть оборота, когда A 1займет всего лишь положение A 2, а B 1доберется уже до B 2. Мы видим, таким образом, что точка обода движется относительно земли медленней, когда она находится внизу, и быстрее, когда она расположена сверху.
А вот простой практический способ убедить наших недоверчивых друзей, не прибегая к помощи рисунка. Проведите на листе бумаги прямую линию и положите монету так, чтобы год ее выпуска находился на этой прямой. Теперь прокатите монету вдоль прямой на очень маленькое расстояние вправо и влево. При этом станет вполне очевидно, что год выпуска едва оторвется от прямой, а верхняя часть цифры, указывающей достоинство монеты, пройдет значительное расстояние. Это вполне убедительно показывает, что верхняя часть колеса (то есть часть, которая в данный момент находится сверху) движется быстрее нижней.
292. Я уже говорил о том, что если вы отметите точку на ободе велосипедного колеса, то она опишет в пространстве кривую, называемую простой циклоидой. Если же вы отметите точку на реборде колеса локомотива или железнодорожного вагона, то она опишет трохоиду, кривую, заканчивающуюся петлями. На рисунке я изобразил колесо с ребордой ниже уровня рельсов в трех положениях: начало, пол-оборота и полный оборот. Точка A 1переходит в A 2и A 3. Поскольку предполагается, что поезд движется слева направо, проведите карандашом вдоль кривой в этом направлении. Вы обнаружите, что в нижней части петли карандаш в самом деле движется справа налево. Дело в том, что «в любой заданный момент» некоторые точки внизу петли движутся в направлении, противоположном поезду. Поскольку таких точек на окружности реборды бесконечно много, при движении поезда они описывают бесконечно много подобных петель. Фактически некоторые точки реборды постоянно движутся в направлении, противоположном поезду.
293. Механизм, изображенный на рисунке, состоит из двух деревянных дощечек Bи C, соединенных по углам так, что они образуют рамку. Рамка с помощью ручки nвращается вокруг оси a, которая проходит сквозь рамку и жестко закреплена на доске или столе A. Внутри рамки на ось жестко насажено зубчатое колесо D. При вращении рамки оно поворачивает толстое колесо E, которое, подобно остальным трем колесам F, Gи H, свободно сидит на своей оси. Тонкие колеса F, Gи Hприводятся в движение толстым колесом Eтаким образом, что при вращении рамки Hвращается в ту же сторону, что и E, G — в противоположную, a Fостается неподвижным. Секрет заключается в том, что, хотя все колеса могут быть одинакового диаметра и D, Eи Fмогут ( Dи F обязаны) иметь одинаковое число зубцов, у G, однако, зубцов должно быть по крайней мере на один меньше, а у Hпо крайней мере на один больше, чем у D.
294. Простейшее, хотя и не единственное, решение показано на рисунке слева.
295. Решение ясно из рисунка справа.
296. Простое решение показано на рисунке. Земля разделена на 8 равных частей, каждая из которых содержит по три дерева.
297. На рисунке изображен проход сквозь минное поле, составленный из двух прямолинейных участков.
298. Шесть прямых заборов поставлены так, что каждое дерево отгорожено от остальных. Мы утверждали, что подобным же образом с помощью шести заборов можно было бы отгородить 22 дерева, если бы они были расположены «поудобней». Мы могли бы добавить, что в таком случае каждая прямая должна пересекать все остальные, причем никакие две точки пересечения не будут совпадать. Однако, поскольку в нашей головоломке участвует только 20 деревьев, эти условия уже не являются необходимыми, и четыре забора пересекают только по четыре (а не по пять) других.
299. На рисунке показаны пять разрезов, которые делят полумесяц на 21 часть.
Если число разрезов равно n, то с их помощью круг можно разрезать на ( n 2+ n)/2 + 1, а полумесяц на ( n 2+ 3 n)/2 + 1 частей.
300. Возьмите полоски из толстого картона (не обязательно с прямолинейными краями) и соедините их между собой, использовав в качестве шарнира кнопки. Две длинные полоски должны иметь, равную длину (от центра одной кнопки до центра другой), а длины четырех нижних полосок, образующих ромб, должны быть равны между собой. Гвоздики или иголки прикрепляют «инструмент» к столу в точках Aи B, причем расстояния от Aдо Bи от Bдо Cравны между собой. Если все будет сделано аккуратно и точно, карандаш, помещенный в D, начертит прямую линию.
301. Проведите два перпендикулярных отрезка CDи EF(длина CDравна 12 см, длина EF — 8 см), пересекающихся друг с другом посередине. Найдите такие точки Aи B, чтобы AFи FBравнялись половине CD, то есть 6 см, и поместите ваши булавки в Aи B, взяв веревочную петлю равной ABFA. Пусть CA= x. Тогда, если карандаш находится в F, длина веревки равна 12 + (12 - 2 x) = 24 - 2 x, а если он находится в C, длина веревки равна тоже 2(12 - x) = 24 - 2 x, что и доказывает правильность нашего решения [39].