Пятьсот двадцать головоломок - Дьюдени Генри Эрнест. Страница 62

396. Вместимость кувшина должна быть чуть меньше 3 л. Точнее говоря, она равна 2,93 л.

397. Две пинты воды можно отмерить за 14 операций, если сосуды над чертой пусты, а каждая строка соответствует одной операции.

Содержимое сосудов, указанное после каждой операции, не требует пояснений.

398. Смесь содержит

399. Вот одно из нескольких решений:

[Найдено лучшее решение, содержащее только 5 операций:

400. Простейшим решением задачи будет следующее (вверху указана емкость сосудов, ниже — первоначальное количество содержимого, а в каждой следующей строке — количество содержимого после очередной операции):

Так, мы сначала наполняем 5-литровый кувшин из одного бидона, затем 4-литровый кувшин из 5-литрового, затем выливаем содержимое 4-литрового обратно в бидон и т. д. Все это можно проделать очень легко. Обратите внимание на остроумие последних двух операций: мы наполняем 4-литровый кувшин из второго бидона, а затем доверху доливаем первый бидон.

401. Жирная линия на рисунке показывает путь из Лондона в Типперери, совершаемый за 18 переходов. Чтобы добраться до места назначения за четное число переходов, совершенно необходимо включить в маршрут переход, отмеченный словами Ирландское море.

402. Десять точек, отмеченных на рисунке буквами, представляют собой «нечетные узлы», то есть точки, из которых вы можете идти по нечетному числу (три) направлений. Следовательно, нам известно, что всего потребуется 5 линий (половина 10). Пунктирные линии показывают 4 кратчайших расстояния между узлами. Обратите внимание, что вам нельзя использовать один узел дважды; в противном случае решение можно было бы удушить, обозначив пунктиром EHи CFвместо CDи GH. Зафиксировав наши 4 кратчайших расстояния, мы можем начертить все остальное с помощью одной непрерывной линии от Aдо K, как показано на рисунке. Добравшись до D, вы должны пройти к Cи обратно к D, от Gк Hи обратно и т. д. Или же вы можете подождать до того момента, когда доберетесь до C, а затем пройти до Dи обратно и т. д. Таким образом, вы пройдете дважды только пунктирные линии, что и даст минимально возможное расстояние, которое приходится проходить дважды.

403. Допустим, что мы пересекаем отрезки по мостам, изображенным в случае 1маленькими параллельными линиями. Далее я преобразую диаграмму, сведя области A, B, C, D, Eпросто к точкам и изобразив мосты, связывающие данные точки, прямыми, или путями, — случай 2. При этом никакого изменения условий не произошло, поскольку в каждом случае имеется 16 мостов (путей) и они связывают A, B, C, D, Eсовершенно одинаковым образом. Можно заметить, что наружу выходят 9 мостов, или путей. Очевидно, мы можем попарно соединять данные пути, заботясь лишь о том, чтобы они не пересекали друг друга. Простейший способ показан в случае 3. Выйдя из A, B, Cили E, мы немедленно возвращаемся в ту же точку по соседнему мосту, оставив одну точку xобязательно вовне. В случае 2имеются 4 нечетных узла A, B, Dи x(если мы решили входы и выходы сделать такими, как в случае 3); поэтому, как я уже объяснял, нам потребуется 2 росчерка (половина 4), чтобы пройти по всем путям, откуда и следует неразрешимость нашей задачи.

Теперь давайте удалим отрезок AB. Тогда Aи Bстанут четными узлами, а нам придется начинать и заканчивать наш маршрут в нечетных узлах Dи x. Двигайтесь вдоль линии, показанной в случае 3, и вы увидите, что это можно сделать, выбросив путь от Aдо B. Эту схему читатель легко преобразует в случай 4, сказав себе: «Идем из xв D, из Dв E, из Eнаружу и возвращаемся в E» и т. д. Маршрут можно изменить, соединив внешние мосты по-другому: принять за xвнешний мост, идущий в Aили Bвместо D, и выбросить любой из путей AB, AD, BD, xA, xBили xD. В случае 5путь из xидет в B. Мы по-прежнему выбросили AB, но должны теперь начинать и заканчивать движение в Dи x. Преобразовав эту диаграмму (см. случай 6), можно заметить, что получился тот же самый чертеж, который я приводил, формулируя задачу. Теперь читатель может начертить столько маршрутов, сколько пожелает, но при этом всегда придется удалять один из путей (мостов). На примере нашей головоломки хорошо видно, как некоторая изобретательность (вроде той, что была проявлена при преобразовании диаграмм) помогает нащупать правильный подход.

404. Преобразуйте карту следующим образом. Сведите острова A, B, Cи Dпросто к точкам, а мосты превратите в линии, как это сделано в случае 1. Условия задачи от этого не меняются. Если вы соедините Aи B, а также Cи Dлиниями, которые будут проходить вне четырехугольника ABCD, то получите случай 2; если же вы подобным образом соедините Aи D, а также Bи C, то получите случай 3; если же вы соедините Aс C, а Bс D, то получите случай 4. В каждом из этих случаев Bи Dпредставляют собой «нечетные узлы» (точки, из которых можно выйти по нечетному числу путей, а именно по трем путям), так что при любом маршруте вы должны начинать и заканчивать свой путь в В или D для того, чтобы пройти один и только один раз вдоль каждой линии. Следовательно, Томпкинс обязан жить в Bили D. Для определенности мы положим, что он живет в B, и поместим Джонсона в D. Всего существует 44 маршрута в случае 2, 44 в случае 3 и 44 в случае 4, что составляет всего 132 маршрута, если мы не различаем маршруты с противоположным направлением обхода. Возьмем, например, случай 2 и обозначим внешние кривые линии через O. Тогда, если вы начнете движение по BOAB, BOAC, BAOBили BAC, каждый из этих вариантов даст по 6 различных маршрутов. Если вы начнете движение по BOAD, BAD, BCOD, BCAили BCD, то получите по 4 маршрута. В случае 3 BOCA, BOCB, BCAили BCOBдадут по 6 маршрутов, a BOCD, BAOD, BAC, BADили BCD — по 4 маршрута каждый. Аналогичным образом обстоит дело и в случае 4.