Вечность. В поисках окончательной теории времени - Кэрролл Шон. Страница 55

Реальные же законы физики на фундаментальном уровне обратимы. И если вдуматься, это их свойство гарантирует, что высокоэнтропийные состояния не будут стремиться переходить в состояния с низкой энтропией. Как вы помните, основа обратимости — сохранение информации. Информация, необходимая для описания конкретного состояния, сохраняется, несмотря на то что система движется, меняясь с течением времени. Это означает, что два разных состояния с течением времени всегда переходят в два разных состояния; если бы в будущем они приходили в какое-то одно состояние, то мы не могли бы восстановить прошлое этого состояния. Поэтому совершенно невозможно, чтобы все высокоэнтропийные состояния стремились в низкоэнтропийные: состояний с низкой энтропией просто-напросто слишком мало, для того чтобы это было реально. Данный результат называется теоремой Лиувилля в честь французского математика Жозефа Лиувилля.

Это почти то, что нам нужно, но не совсем. И, как это часто случается, мы хотим того, что вряд ли сможем в действительности получить. Предположим, что у нас есть какая-то система, мы знаем, в каком макросостоянии она находится, и хотели бы сделать какие-то предсказания относительно ее будущего. Пусть это будет, например, стакан воды с плавающим в ней кубиком льда. Согласно теореме Лиувилля, большинство микросостояний этого макросостояния будут стремиться к увеличению (либо сохранению) энтропии. То же самое говорит нам второе начало термодинамики: кубик льда, скорее всего, растает. Однако система находится ровно в одном конкретном микросостоянии, даже если мы не знаем точно, в каком. Можем ли мы быть уверены, что это не одно из того крошечного набора микросостояний, в которых энтропия способна в любое мгновение внезапно уменьшиться? Как гарантировать, что кубик льда не увеличится, одновременно нагрев окружающую его воду?

Ответ прост: никак. В макросостоянии «вода с кубиком льда» обязательно присутствует какое-то конкретное, очень редкое микросостояние, которое действительно будет эволюционировать по направлению к микросостоянию с меньшей энтропией. Статистическая механика (основанная на атомах версия термодинамики), по сути, наука вероятностная: нам неизвестно, что в точности произойдет; мы можем лишь утверждать, что вероятность определенных событий наиболее высока. По крайней мере, нам хотелось бы иметь возможность делать такие утверждения. В действительности же мы можем говорить лишь о том, что большинство состояний с небольшой энтропией будут развиваться в сторону увеличения, а не уменьшения энтропии. Вы обратили внимание на тонкое различие между «большинство микросостояний данного макросостояния развиваются в сторону увеличения энтропии» и «принадлежащее данному макросостоянию микросостояние с большой вероятностью будет развиваться в сторону увеличения энтропии»? Первое утверждение — это всего лишь подсчет относительного числа микросостояний, обладающих разными свойствами («кубик льда тает» или «кубик льда растет»), однако во втором мы уже делаем заявление о вероятности какого-то события в реальном мире. Это не одно и то же. В мире больше китайцев, чем литовцев; однако это не означает, что вы с большей вероятностью столкнетесь с китайцем, чем с литовцем, прогуливаясь по улицам Вильнюса.

Другими словами, традиционная статистическая механика основывается на критически важном допущении: если мы находимся в определенном макросостоянии и знаем полный набор составляющих его микросостояний, мы можем предполагать, что все эти микросостояния одинаково вероятны. В любых подобных рассуждениях допущения неизбежны, потому что без их помощи нам никак не перейти от банального подсчета количества состояний к точному вычислению вероятностей. У предположения о равной вероятности есть название, которое также отлично подошло бы в качестве заглавия для стратегии поиска спутника жизни, особенно если вы человек эмоциональный: «принцип безразличия». Впервые оно прозвучало в контексте теории вероятностей задолго до того, как на сцене появилась статистическая механика, и озвучил его наш старый друг Пьер-Симон Лаплас. Он был упертым детерминистом, однако, как и любой другой человек, понимал, что чаще всего нам приходится оперировать далеко не всеобъемлющими наборами фактов. Тем не менее ему было интересно, какие выводы человек способен делать в ситуациях неполной информированности.

Так вот, чаще всего лучшее из всего, что мы можем предпринять, — применить принцип безразличия. Если нам не известно ничего, кроме того, что система находится в определенном макросостоянии, мы предполагаем, что все образующие его микросостояния одинаково вероятны (не забывая, однако, об одном принципиальном исключении, которое называется гипотезой о прошлом, — о нем мы поговорим в конце главы). Было бы очень здорово, если бы у нас была возможность доказать истинность данного предположения, — и действительно, многие люди пытались это сделать. Например, если бы система в процессе своего движения проходила через все возможные микросостояния (или по крайней мере через достаточно большой их набор, почти полностью охватывающий все возможные микросостояния) за разумный промежуток времени, то у нас были бы определенные основания считать все микросостояния одинаково вероятными. Система, посещающая каждое (или почти каждое) состояние в своем пространстве состояний и, таким образом, перебирающая все (или почти все) возможные исходы, называется эргодической. Проблема в том, что даже если система действительно является эргодической (а таковыми являются далеко не все системы), ей потребовалась бы целая вечность, чтобы пройти вблизи всех своих микросостояний. Ну ладно, может быть, не вечность, но это все равно заняло бы ужасно много времени. Макроскопическая система может пребывать в таком огромном числе состояний, что для того, чтобы перепробовать их все, потребуется время, сопоставимое с возрастом Вселенной.

Настоящая причина существования принципа безразличия заключается в том, что ничего лучше у нас просто нет. Ну и, конечно, потому что он вроде бы работает.

Другие энтропии, другие стрелы

В наших рассуждениях мы дали четкие определения энтропии и стрелы времени. Энтропия — это число состояний, неразличимых с точки зрения макроскопического наблюдателя, а стрела времени возникает, потому что во всей обозримой Вселенной энтропия непрерывно увеличивается. Несмотря на то что, формулируя эти определения, мы отталкивались от свойств реального мира, другие люди, употребляя те же самые термины, могут подразумевать что-то совершенно иное.

Определение энтропии, с которым мы работаем, — то самое, что выгравировано на могильной плите Больцмана, — связывает с каждым индивидуальным микросостоянием определенную энтропию. Главная особенность этого определения — его двухэтапность. Сначала мы принимаем решение о том, что же можно считать «макроскопически неразличимыми» характеристиками состояния, а затем на основании этого разбиваем все пространство состояний на части — набор макросостояний. Для вычисления энтропии микросостояния мы берем общее число макроскопически неотличимых от него микросостояний и вычисляем ее логарифм.

Однако обратите внимание на то, что здесь происходит кое-что очень интересное. Пусть некоторое состояние эволюционирует с течением времени из низкоэнтропийной области в высокоэнтропийную. Пусть мы потеряли всю информацию об этом состоянии, кроме макросостояния, которое оно проходит в данный момент времени. Тогда со временем мы будем обладать все меньшей информацией о микросостоянии, которое рассматриваем. Другими словами, когда нам говорят, что система принадлежит определенному макросостоянию, вероятность того, что она находится в конкретном микросостоянии из этого макросостояния, с увеличением энтропии уменьшается — просто потому, что число вариантов стремительно возрастает. Точность нашей информации о состоянии — насколько верно мы определили микросостояние — уменьшается по мере того, как энтропия увеличивается.