История греческой философии в её связи с наукой - Гайденко Пиама Павловна. Страница 34

Пифагорейцы по той причине, видимо, не различали числа и вещи, что они считали единицу, имеющую определенное положение в пространстве (т.е. точку), вещью; поскольку эмпирический мир вещей - это мир пространственный, то единица, становясь точкой, тем самым выступает как элемент пространственного, а значит, эмпирического мира.

Показывая, что геометрические конструкции по своему статусу отличаются от вещей чувственного мира, Платон в то же время не может отождествить их с собственно идеальными объектами, каковы числа. Пытаясь найти онтологический статус геометрических объектов, он приходит к мысли о том, что пространство - стихия геометрии - есть нечто среднее между идеями и чувственным миром.

Насколько нам известно, Платон впервые в античной науке вводит понятие геометрического пространства; до него античная философия не отделяла сознательно пространство от его наполнения, за исключением разве атомистов, но они определяли пространство физически - как пустоту, отличая ее от атомов как "полного". И не только доплатоновская, но и послеплатоновская научно-философская мысль в лице Аристотеля и его учеников не признавала пространства в том виде, как его понимал Платон; пространство выступает у Аристотеля как "место", а это понятие радикально отличается от геометрического пространства Платона.

Поскольку понятие пространства, впервые формирующееся у Платона, имеет очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов, поскольку оно, далее, тесно связано с платоновским обоснованием математики, мы рассмотрим его здесь подробнее. В диалоге "Тимей" Платон следующим образом определяет пространство: "...приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее посредством мнения, соединенного с ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство (· cиra): оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно".

Пространство, как видим, определяется Платоном как нечто отличное, с одной стороны, от идей, постигаемых мыслью (n"hsiV), которые мы назвали бы по этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус единственно истинного бытия), а с другой - от чувственных вещей, воспринимаемых "ощущением" (aЗsJhsiV). Пространство лежит как бы между этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо, неизменно - более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно - как "незаконное умозрение" (?pt'n logismщ tinИ n"JJ). Переводя это выражение Платона как "гибридное рассуждение", Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой мы постигаем пространство, есть некий гибрид, "помесь" между мышлением и ощущением.

Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне: "Мы видим его (пространство. - П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто это бытие непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует".

Сравнение "незаконнорожденного" постижения пространства с видением во сне, очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение не однажды. В диалоге "Государство", говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: "Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. - П.Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?"

Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время не можем постигнуть в понятиях, - и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом для геометров.

Почему, говоря о пространстве, Платон постоянно прибегает к образу сна? Невольно приходит на ум известный платоновский символ пещеры: ведь узники в пещере принимают за истину "тени проносимых мимо предметов", так же точно как человек во сне принимает за реальность лишь "тени". Пространство в этом смысле у Платона - это не тени, т.е. не чувственные вещи, а как бы сама стихия сна, пространство - это сам сон как то состояние, в котором мы за вещи принимаем лишь тени вещей. И так же, как, проснувшись, мы воспринимаем виденное во сне несколько смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно как бы брезжит, не позволяет себя схватить и остановить, определить, - так же не дает себя постигнуть с помощью понятий разума и пространство.

Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то "начало", которого сами геометры "не знают" и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.

Платон и "Начала" Евклида

В первой книге "Начал" Евклид формулирует исходные положения геометрии, которые не могут быть доказаны, но на базе которых только и могут быть получены остальные - выводные - положения. Эти недоказуемые утверждения Евклид подразделяет на три группы: определения ("roi), постулаты (aДt mata) и общие понятия - аксиомы. У самого Евклида эта третья группа положений носит название koinaИ Ьnnoiai - "общие представления", "понятия"; на латинский язык это выражение обычно переводили как "communes animi conceptiones" - "общие понятия души". У Прокла в комментарии к Евклиду первая группа положений называется также гипотезами (?p"JesiV), а третья группа положений носит название аксиомы (?xiиmata).

На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются определения от постулатов и аксиом?

Рассмотрим сначала, что такое определения, или допущения (гипотезы), как их именует платоник Прокл. В первой книге Евклида их 23. Они в свою очередь могут быть подразделены на две группы. В первой группе (определения 1-9, 13, 14) вводятся исходные понятия геометрии - точка, линия, прямая линия, поверхность, плоскость, угол, граница, фигура. Ко второй группе принадлежат определения основных геометрических фигур - прямого, тупого и острого углов, круга, разного вида треугольников и четырехугольников, параллельных прямых.

Что касается определений первой группы, то, как отмечает М.Я. Выгодский, "с древнейших времен и до наших дней эти определения в наибольшей степени были предметом критики". Приведем главнейшие из определений этой первой группы.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же - длина без ширины.

3. Концы же линии - точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же поверхности - линии.

Очевидно, именно такого рода определения имеет в виду Платон в следующем своем рассуждении: "Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно".