Бесконечный регресс и основания математики (ЛП) - Лакатос Имре. Страница 6

2) Рассел время от времени оставляет евклидианскую очевидность и предается разновидности индуктивизма (Russell, 1925, р. 59):

"То, что аксиома редуцируемости самоочевидна, ― суждение, которое едва ли можно поддержать. Фактически, однако, самоочевидность никогда не была более чем компонентой того основания, на котором принимается та или иная аксиома, и никогда не была необходимым основанием. Основание для принятия какой-либо аксиомы, как, впрочем, и любого другого высказывания, всегда в значительной степени индуктивное, а именно, состоит в том, что много почти несомненных высказываний может дедуцироваться из этой аксиомы и что стало бы непонятным, каким образом эти высказывания могли бы быть истинными, если бы эта аксиома была ложной, и что никакие высказывания, имеющие вероятность быть ложными, не дедуцируются из нее. Если аксиома кажется самоочевидной, это лишь значит, что она практически почти несомненна, ибо многие вещи, казавшиеся самоочевидными, оказались ложными. А если аксиома сама почти несомненна, то это лишь добавка к индуктивным свидетельствам, выведенным из факта, что ее следствия почти несомненны. Непогрешимость (infallibility) недостижима, и, стало быть, некоторый момент сомнения всегда затрагивает каждую аксиому и все ее следствия. Элемент сомнения присутствует в формальной логике не менее, чем в большинстве наук, этот элемент, как показал тот факт, что парадоксы следуют из посылок, которые ранее не считалось нужным ограничивать, возникает не по невнимательности. В случае аксиомы редуцируемости мы имеем очень строгие индуктивные свидетельства в ее пользу, так как все рассуждения, которые она допускает, и все результаты, к которым она ведет, оказываются истинными (valid)".

Или далее (Russell, 1924, р. 325-326):

"Когда чистая математика организована как дедуктивная система, т.е. как множество таких высказываний, которые могут быть дедуцированы из специального множества посылок, становится очевидным, что мы верим в истинность чистой математики не только потому, что мы верим в истинность множества посылок. Некоторые из этих посылок намного менее очевидны, чем их следствия, и в них верят главным образом из-за их следствий. Это обнаруживается всегда, когда наука организуется в дедуктивную систему. Не логически простейшие высказывания системы, отличающиеся наибольшей очевидностью, обеспечивают главную часть тех оснований, по которым мы верим в систему. Эмпирические науки демонстрируют это с очевидностью. Электродинамика может быть сосредоточена в уравнениях Максвелла, вера в эти уравнения вызывается наблюдаемыми истинами, логически следующими из этих уравнений. То же самое происходит в области чистой логики: в логически первые принципы логики ― по крайней мере в некоторые из них ― следует верить не по причине их собственных достоинств, а в силу их следствий. Эпистемологический вопрос: "Почему мне надо верить в это множество высказываний?" ― совершенно иной, нежели логический вопрос: "Какова минимальная и логически простейшая группа высказываний, из которой может быть дедуцируемо это множество высказываний?" Истоки нашей веры в логику и в чистую математику частично лишь индуктивны и вероятностны несмотря на тот факт, что высказывания логики и чистой математики по своему логическому статусу выводятся из посылок логики путем чистой дедукции".

Поразительно, как специалисты по математической логике, которые до отвратительности заботились о строгости и стремились достигнуть абсолютной достоверности, смогли вляпаться в слякоть индуктивизма. Например, А. Френкель, известный логик, решился утверждать, что некоторые аксиомы логики получают свой "полный вес" в силу "доказательства их следствий" (Fraenkel, 1927, р.61).

Подобно Ньютону, создававшему небесную механику, Рассел осознал дефектность евклидианской трактовки математики. Некоторые из его последователей сделали из порока добродетель, не проследив его важные импликации. Россер, например, писал:

"Мы хотим выяснить один вопрос, касающийся использования слова "аксиома". Первоначально Евклид использовал это слово, имея в виду "самоочевидную истину". Это использование слова "аксиома" долгое время было абсолютно непререкаемо в математических кругах. Для нас же аксиому составляет множество произвольно избранных предложений, которого вместе с правилом modus ponens достаточно, чтобы вывести все те предложения, которые мы хотим вывести".

Россер, очевидно, подразумевал "все те и только те", поскольку он, очевидно, не защищал внутренне противоречивые системы аксиом. Но какие предложения мы хотим вывести? Те, которые являются самоочевидными истинами? В этом случае утверждение Россера только переносило бы трудность самоочевидности от аксиом к "предложениям, которые мы хотим вывести". Рассел сам в отличие от Ньютона никогда не превращал в победу свое поражение. Он презирал этот вид "постулирования": "Метод «постулирования», к которому мы идем, наделен многими преимуществами: это те же самые преимущества, которыми обладает мошенник над честным трудягой" (Russell, 1919, р. 71).

Постулирующие не обязательно авторитарны, они могли бы быть "либералами" и заявлять, что для них главное "аксиоматизация" любой непротиворечивой совокупности предложений, истинных или ложных. Эта игра не имеет ничего общего с истиной и передачей истины. Рассел никогда даже не рассматривал эту возможность. Отвергая постулирование, расшатывающее его евклидианские надежды, он в отчаянии ставил на индукцию, которая, как он надеялся, изгонит призрак погрешимости знания сначала из математики, потом из естественных наук: "Я не вижу какого-либо иного пути, нежели догматическое допущение, что мы знаем этот принцип индукции или его некоторый эквивалент; единственная альтернатива ― выбросить почти все, что почитается наукой и здравым смыслом как знание" (Russell, 1944, р. 683). Он никогда не рассматривал возможности того, что математика может быть предположительной, не допуская, что предположительность не ведет с необходимостью к полной сдаче разума.

Лишь исторически интересны небольшие детали того "отступления от пифагореизма" (Russell, 1959, chap. XVII), которое совершил Рассел. "Превосходная достоверность, которую я всегда хотел найти в математике, ― писал он, ― была утрачена в тупиковой путанице" (ibid, р. 212). Он был вынужден сдать евклидианизм, который покоился бы на "мысли, освобожденной от чувства… Надежда найти совершенство, окончательность и достоверность, ― писал он, ― была утрачена" (ibid). Фактически он так и не освободился от того замешательства, в которое его привела неподатливость математики. В работе (Russell, 1912; Рассел, 1914) он колебался, излагая свое воззрение на математику. Совершив удивляющий, но понятный разворот на 180°(volte-face), он отдал предпочтение Канту, который в конце концов был его союзником в решении огромной задачи обосновать науку и победить скептицизм (Russell, 1959, р. 82-84, 87, 109). Он написал осторожное предисловие к своей книге (Russell, 1919), сокрушаясь, что это книга, собственно, по философии математики, где "относительная достоверность еще не достигнута". "Далеко идущие усилия были приложены, чтобы избежать догматизма в таких вопросах, которые ещё открыты для серьезного сомнения". В его книге (Russell, 1948; Рассел, 1957) математическое знание, на которое он раньше полагался как на парадигму человеческого знания, не обсуждается вообще. "Парадокс Рассела" заставил Фреге немедленно сдать философию математики.* [24] Рассел упорствовал некоторое время, но затем последовал за ним.

Проследим теперь те заключения, которые Рассел отказывался проследить. Бесконечный регресс в доказательствах и определениях не может быть остановлен евклидианской логикой. Логика может объяснить математику, но не доказать ее. Она ведет к утонченной спекуляции, какой угодно спекуляции, кроме тривиально истинной. Область тривиальности ограничивается неинтересным разрешимым фрагментом из арифметики и логики, но даже этот тривиальный фрагмент временами расползается под ударами детривиализующей скептической критики.