Философия и логика времени или О неполноте сознания - Юрченко Сергей Борисович. Страница 33

Лемма 12. Окрестность (множество) существует тогда и только тогда, когда существует точка (элемент), к которой она сходится.

Вселенную можно представлять разными математическими концепциями. Модели в таком словоупотреблении вторичны по отношению к концепциям. Исторически первой, восходящей к античности, является концепция идеального гладкого и плоского 3-мерного пространства, в котором точки, символизирующие тела, выписывают всевозможные кривые. Время для них – лишь средство описания. Оно безусловно пассивно. Венцом этой концепции является евклидова геометрия в декартовской системе координат. В отношении к ней релятивистское 4-мерное пространство-время становится радикальным шагом вперед. Время из фиктивного переходит в статус пассивного и включается в геометрию единого пространства, искажая его. Венцом этой концепции становится искривленное риманово многообразие теории относительности.

По логике такого развития следующим шагом должно стать активное время, для которого пространство является множеством его элементов. И действительно, подобный путь был намечен в «Геометродинамике» Уилера, где Вселенная становилась суперпространством, состоящим из класса 3-мерных геометрий , т.е. s-подобных страт W в пространстве Минковского [25]. При этом координата времени опять становилась фиктивной. В рамках этой концепции было получено уравнение Уилера-ДеВитта (7.5), в котором полный гамильтониан Вселенной не зависит от времени. Пожалуй, именно это и стало тупиком теории. В нашем понимании время должно быть активным, а пространство выражаться через него. Вернемся к расслоению Вселенной на «чистые» 3-мерные пространства, но не так, как это декларировал Уилер, а с точностью до наоборот. В нашем представлении Вселенная является транзитивным множеством «чистых» и по сути фиктивных пространств.

Транзитивные множества составляют особый класс теории множеств. Их можно назвать многослойными или «вертикальными» в отличие от обычных «горизонтальных» множеств, которыми пользуются геометрия и топология. «Горизонтальное» классическое множество Х есть совокупность элементов х, с каждым из которых оно связано отношением принадлежности: . Если Y состоит из некоторого количества этих элементов, оно является подмножеством Х. Это выражается отношением включения. Этих понятий достаточно, чтобы сформулировать основы геометрии и топологии. При этом элементы пространства становятся неделимыми точками.

В транзитивных множествах элементы могут сами состоять из элементов, так что образуются –цепи принадлежности, которые естественным образом разбивают множество на ранги. Обычное множество Х состоит лишь из двух рангов. Координаты и метрики закладываются на первом ранге, а изучаются – на втором как отношения подмножеств и операции с ними. Топология поднимается на третий ранг, формируя булеан Р(Х) подмножеств Х и работая с ним. Заметим, что булева алгебра коммутативна (симметрична) относительно сложения и умножения, но соответствующие этим операциям логические связки дизъюнкции V и конъюнкции &, согласно таблиц истинности, легко заменить импликацией , которая уже не является коммутативной. Это выражается в том, что булева алгебра моделируется решеткой, т.е. множеством с выделенным направлением, на которой можно условно определить стрелу времени. Т.о. с помощью формальных процедур в логике можно получить то, что в физике называется «спонтанным нарушением симметрии».

Действительно, если выстраивается некая дедуктивная цепь:

то невозможно получить инверсию этой цепи:

Наша ментальная логика так же необратима, как и наша физическая причинность. Именно эта необратимость и отражена в термодинамике. Но что общего между дедукцией, детерминизмом и термодинамикой?

Если теперь мы вернемся к расслоению Вселенной, то получим интересный результат, а именно: «горизонтальное» отношение включения в транзитивном множестве является пространственным, а вот отношение принадлежности можно считать временным. Достаточно принять определение , чтобы транзитивное множество стало подобно причинному в световом конусе будущего, а при обратном определение получится причинное множество в конусе прошлого. Пространство релятивизма отличается от классических евклидовых и римановых пространств именно тем, что, при введении координаты времени в геометрию, оно становится «вертикальным».

Поэтому гораздо правильнее представлять причинное множество в пространстве Минковского как –цепи, исходящие из главенствующего события. Т.о. с одной стороны причинное множество лежит внутри светового конуса (точнее, внутри гиперболоида), а с другой стороны оно состоит из –цепей, которые пронизывают класс s-подобных страт. Любые две точки имеют общего «предка» и могут иметь общих «потомков». Но если они находятся на одном ранге, то для взаимодействия им нужно время, так что в самом ранге можно говорить только о нелокальных корреляциях. Релятивистская Вселенная по «горизонтали» фиктивна, ибо события внутри нее не могут быть связаны причинно, а только объединены в «тела», и динамическое значение имеет только «вертикальное» время.

Транзитивное множество имеет структуру фильтра. Описывать транзитивные множества подробно нет нужды, потому что они достаточно хорошо представляются обычными «горизонтальными» решетками. Следует лишь помнить, что когда мы говорим о решетках, мы говорим о транзитивных множествах без обычных геометрических ассоциаций, так что классическое отношение порядка < всегда является «t-подобным» и поэтому причинным.

Здесь можно найти еще одну параллель с символической логикой и булевыми алгебрами. А именно: если понимать логическое умножение & и сложение V в стандартной интерпретации как нижние и верхние грани, то истинность высказывания зависит от сочетания попарных нижних и верхних граней по переменным. Если эти переменные есть физические события, то истинность выражается в том, имеют ли такие события общие причины (предка) или следствия (потомка). Поскольку любые физические события внутри светового конуса в пространстве Минковского М причинно связаны их инфимумом, то нетрудно видеть, что < определяет фильтр детерминированных событий. Иначе говоря, в булевой алгебре Р(М) над М «t-подобное» множество событий, вызванных событием х, образуют область «х-истинности».

Лемма 13. Световой конус = фильтр истинности.

В конце концов, важным для нас окажется лишь то, что фильтр в таком определении разнесен не в пространстве, а во времени. Это – не множество окрестностей точки, как, например, лес вокруг дуба, а скорее, – это сам дуб в процессе своего становления из желудя. Иначе говоря, он растет не в пространстве с фиктивным временем и не в искривленном материей пространстве, он растет в активном времени сквозь множество фиктивных пространств. Мы смотрим на транзитивное множество во времени, и поэтому в том времени, где мы видим дуб, самого желудя уже нет. Таков наш фильтр. Он подобен не фотографии, скажем, цветка, из которой мы дхармируем его составные элементы (всегда целые), а высокоскоростной фильм, в которых из ничего на наших глазах вырастает цветок. Мозг «скользит» не по пространству в остановленном времени, он «скользит» по времени, которое делает это пространство динамическим.

В топологии точка вводится по определению как базовый элемент. Единственное условие – все точки пространства как таковые равноправны и неразличимы. Различия задаются топологией и геометрией. Если задаться вопросом о психофизической природе точки (что есть точка для мозга?), то разумно предположить, что изначально точка а есть интенция ничто как замыкание пустого множества: а = {Ø}, т.е. как изолированная от ассоциаций пустая дхарма мозга, которой приписывается одно качество – быть элементом множества себе подобных. Т.о. любое топологическое пространство (множество) сходится к пустому множеству. Это пустое множество (континуум) и составляет фон, в который погружено пространство (дискретно-неотделимое множество согласно лемме 5). В самом общем смысле все мысленные структуры мозга есть фильтры над пустой дхармой. Если понимать световой конус в пространстве Минковского как причинное множество, то его сходство с фильтром становится очевидным.