Сочинения - Беркли Джорж. Страница 93

384

28. Допустим, имеется самый общий пример и х nравен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты — nх n-1, которое мы примем за истинное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы довольствуемся тем, что придем к выводу самым общим путем, предположив, что найдено * отношение флюксий хи х n, равное 1 : nх n-1, и что ордината упомянутой площади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, разделим последнее на две части BCFD и CFH ** и будем действовать последовательно при помощи уравнений, составленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если х nравен площади ABC, то приращение х nравно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами

И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, nox n-1= BDFC. Разделив обе части на оили BD, получим nox n-1= ВС. В силу чего допустим, что криволинейное пространство CFH равно величине   oox n -2и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое — из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. и совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD — бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы криволинейные не были бы равными ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные части, остатки тоже будут равны. Ибо те величины, которыми, по утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать ис-

* § 13.

** См. рисунок в § 26.

385

чезающими, в действительности вычитаются. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы конечное пространство CFH было равно остатку приращения, выраженному через

равно, как я сказал бы, конечному остатку конечного приращения.

29. Следовательно, о какой бы степени ни шла речь, в одной части возникает алгебраическое выражение, а в другой — геометрическая величина, каждая из которых естественно распадается на три члена: [первый —] алгебраическое или флюксионное выражение, в которое не входит ни выражение приращения абсциссы, ни какой-либо ее степени; второй, в который входит выражение самого приращения; и третий, включающий выражение степеней приращения. Геометрическая величина, или же вся увеличившаяся площадь, тоже состоит из трех частей или членов, первый из которых — заданная площадь, второй — прямоугольник под ординатой и приращением абсциссы и третий — площадь, ограниченная кривыми линиями. И, сравнивая аналогичные или соответственные члены в каждой части, обнаруживаем, что первый член алгебраического выражения есть выражение заданной площади, в то время как второй член алгебраического выражения дает значение прямоугольника, или второго члена геометрической величины, а третий, содержащий степени приращения, выражает площадь, ограниченную кривыми, или третий член геометрической величины. Вероятно, те, у кого есть досуг и кто проявляет любопытство в отношении таких вопросов, могут дальше развить эти начатки мыслей и применить их для каких-либо благих целей. Я же использую их для того, чтобы показать, что данный анализ можно признать действительным не только в отношении приращений и дифференциалов, но (как было замечено ранее) также и в отношении конечных величин, если даже они так велики, как было выше замечено.

386

30. Следовательно, в целом, как представляется, мы можем совершенно определенно заявить, что заключение не может быть правильным, если для его получения какая-либо величина объявляется приближающейся к нулю или игнорируется, за исключением тех случаев, когда одна ошибка компеисируотся другой; или же, во-вторых, когда в одной и той же части уравнения взаимно уничтожаются равные величины, имеющие противоположные знаки, так что величина, которую мы имеем в виду отбросить, прежде уже уничтожается; или же, наконец, когда из каждой части уравнения вычитаются равные величины. и в силу этого избавляться от каких-либо величин в соответствии с принятыми принципами флюксий, или дифференциалов, — значит противоречить как истинной геометрии, так и истинной логике. Когда приращения исчезают, скорости тоже приближаются к нулю. Заявляют, что скорости, или флюксии, суть primo и ultimo [12] как приращения зарождающиеся и исчезающие. Но тогда возьмите соотношение (ratio) исчезающих величин, оно равно соотношению флюксий. В силу атого оно также отвечает всем целям. Зачем же тогда вводятся флюксии? Разве не для того, чтобы избежать применения величин бесконечно малых или, скорее, затушевать (palliate) его? Но у нас нет иных понятий для понимания и измерения различных степеней скорости, кроме пространства и времени, а когда отрезки времени даны — только пространства. У нас даже нет понятия о скорости, отделенной от пространства и времени. Поэтому, когда говорится, что какая-либо точка движется в данные отрезки времени, у нас нет понятия о большей или меньшей скорости или о соотношении скоростей, а только о более длинных или коротких отрезках прямой и о соотношении между такими отрезками, образованными за равные промежутки времени.

31. Точка может служить пределом линии. Линия может служить пределом поверхности. Мгновение может завершить отрезок времени. Но как мы можем представить себе скорость при помощи таких пределов? Она необходимо подразумевает как время, так и пространство и не можег быть представлена без них. А если скорости зарождающихся и приближающихся к нулю величин, т. е. абстрагированных от времени и пространства, не могут быть поняты, то как мы можем понять и доказать их соотношения? Или возьмем их rationes primae и ultimae [13]. Рассмотрение пропорции или отношения (ratio) вещей подразумевает, что у таких вещей есть определенное значение, что такие их значения могут быть измерены, а их отношения друг к другу — найдены. Но поскольку скорость измеряется только через время и пространственное [протяжение], соотношение скоростей может быть составлено только из прямой пропорции расстояний (spaces) и обратной пропорции времен; не следует ли из этого, что говорить об исследовании, получении и рассмотрении соотношений скоростей, в отрыве от времени и пространства, — значит говорить нечто невразумительное?

387

32. Но вы можете сказать, что при использовании и применении флюксий люди не перенапрягают свои способности с целью абсолютно точно понять концепцию вышеупомянутых скоростей, приращений, бесконечно малых величин или каких-либо иных подобных идей столь деликатного (nice), тонкого и мимолетного (evanescent) характера. и в силу этого вы, может быть, будете утверждать, что задачи можно решать без упомянутых допущений, которые не доступны пониманию, и что, следовательно, учение о флюксиях, по крайней мере в своей практической части, свободно от всех таких трудностей. Я отвечу, что, если при использовании и применении этого метода упомянутые трудные и неясные моменты не принимаются во внимание явно, они тем не менее предполагаются. Они являются фундаментом, на который опираются современные математики, принципами, на основе которых они действуют, решая задачи и открывая теоремы. С методом флюксий дело обстоит так же, как со всеми другими методами, которые предполагают наличие соответствующих принципов и основаны на них, хотя правила, вытекающие из методов, могут применяться людьми, которые и не обращают внимания на принципы и, может быть, их даже не знают. В силу этого подобным же образом моряк может на практике применять определенные правила, основанные на геометрии и астрономии, принципов которых он не понимает, и так же любой обыкновенный человек может решать различные числовые примеры, используя общедоступные правила и действия арифметики, которые он выполняет и применяет, не зная их обоснования. Более того, нельзя отрицать, что вы можете применять правила метода флюксий; вы можете сравнивать и сводить частные случаи к общим формам; при помощи его вы можете производить действия, высчитывать и решать задачи, не только действительно не обращая внимания на основы этого метода и принципы, от которых он зависит и из которых он выведен, и фактически не зная их, но даже вообще никогда не рассматривая и не понимая их.