Итоги тысячелетнего развития, кн. I-II - Лосев Алексей Федорович. Страница 194

Однако наблюдения эти соответствуют нашей общей характеристике философии Аристотеля как дистинктивно–дескриптивного аналога платонизма.

б)Чтобы перейти к дальнейшему, нужно остановиться еще на одной идее Евдокса, которая имеет ближайшее отношение к теории континуума. Эта идея уже не чисто геометрическая, но общечисловая и даже общепонятийная. Это есть проблема пропорцийв связи с континуумом. В этой сложной области мы не будем приводить всех первоисточников, поскольку они уже приведены в науке и достаточно обстоятельно обследованы ^[226]. Не будем касаться и подробностей этой сложной проблемы, а скажем только самое главное, и притом с нашей собственной интерпретацией.

Пропорция есть равенство отношений. Но что такое отношение? С первого взгляда кажется, что для отношения нужны соотносящиеся величины, а величины должны быть определены качественно или количественно. Но, судя по материалам Евдокса, дело здесь вовсе не в качествах и не в количествах. А если так, то Евдокса здесь интересует, очевидно, отношение только как логическая категория. А в этом смысле оно совершенно одинаково присутствует решительно везде. Ведь мы уже видели, как пропагандисты чистого и вполне изолированного единства, – и это уже начиная с самого Парменида, – требовали присутствия такого единого решительно во всем существующем, поскольку все существующее всегда есть нечто, и притом определенное нечто, то есть тем самым является и неделимым единым, как бы пестры и разнообразны ни были существующие вещи. Вот точно так же каждой вещи присуще и отношение ее к другим вещам, без которого эта вещь не могла бы быть ориентирована среди всех других вещей. Но если отношение одинаково присуще всем вещам, оно тем самым, следовательно, и непрерывно. Вещи только потому и могут мыслиться нами, что они отличаются одна от другой и сопоставимы одна с другой. А это и значит, что и природа и функционирование отношения возможны только в виде всеобщего континуума.

На этом основании Евдокс доказывал, что и пропорция возможна только потому, что существует континуум. Пропорция есть равенство отношений, и даже не просто равенство, но и вообще любая связь. Другими словами, если все действительно связано и представляет собою единораздельную цельность, то это возможно только потому, что эта цельность, будучи тем или иным единством отношений, совершенно непрерывно представлена во всех своих частях. А это значит, что здесь Евдокс демонстрирует общеантичную идею тождества нераздельного единства и бесконечно становящейся внутренней множественности этого единства. Именно так, надо думать, Евдокс опирает систему отношений на всеобщий континуум, а всеобщий континуум понимает как систему отношений.

Интересно отметить, что подобного рода сведения о пропорциях мы получаем из V книги"Элементов"Евклида, но анонимный схолиаст Евклида (Eucl. V, pars. 1, p. 211, 7 – 8; 213, 1 – 7 Heib. – Stam.) утверждает, что вся эта книга, возможно, принадлежит Евдоксу.

Если вернуться к методу исчерпывания Евдокса, но уже не для самого Евдокса, которого мы проанализировали, а для его последующих сторонников, то необходимо будет сказать о Евклиде и Архимеде.

Прежде чем расстаться с Евдоксом, мы хотели бы обратить внимание на образцовое издание его фрагментов, принадлежащих Ф. Лассерру. Здесь кроме античных свидетельств об Евдоксе (с. 3 – 11) и общих суждений об его учении в области философии (с. 12 – 14), астрономии (с. 15 – 18) и геометрии (с. 18 – 37) дается тщательный подбор собственных суждений Евдокса (с. 39 – 134). Наконец, это издание Ф. Лассерра необходимо высоко расценивать еще и потому, что все приводимые в нем фрагменты снабжены обширным и много дающим комментарием (с. 137 – 271).

в)Между прочим, такое тщательное издание фрагментов Евдокса, как издание Ф. Лассерра, интересно еще и тем, что дает возможность точно определить место бесконечно малых в мировоззрении Евдокса. Когда некоторые исследователи характеризуют бесконечно малые у Евдокса как то, что может стать меньше любой заданной величины, то подобного рода утверждение звучит совсем в стиле современного математического анализа, где такого рода определение действительно дается в чистом виде. Но такое абстрактное понимание бесконечно малого не существовало раньше Ньютона и Лейбница. Раньше это было только частичной характеристикой того или иного вполне конкретного и вполне специфического бытия. Так, например, точные категории математического анализа назревали у Николая Кузанского только в связи с его чисто теологическими представлениями. Точно так же невозможно и древним приписывать какой нибудь инфинитезимализм в чистом виде. Ведь все наши предыдущие исследования были основаны на чисто телесном миропредставлении, на чисто физической интуиции живого тела. Поэтому и к своему представлению о бесконечно малом приближении древние приходили обязательно только в связи с основной телесной интуицией. Наблюдая живые тела, древние не могли сводить эти тела только на совокупность мертвых линий и фигур, хотя бы и чисто телесных. Эти телесные линии, фигуры и тела при всей своей скульптурной законченности рассматривались еще и как подвижные, живые и бурлящие, как властно зовущие сплошно и непрерывно переходить от одного их момента к другому. Такого рода величины становились тем, что мы сейчас называем иррациональными величинами. Но, во–первых, всякая такая иррациональность всегда мыслилась в античности как нечто зримо и телесно ощутимое; а во–вторых, также и те величины, которые мы сейчас называем иррациональными, тоже рассматривались древними в их живом смысловом потоке. Проще всего это видно хотя бы на диагонали квадрата, сторона которого равна 1. Ведь такая диагональ квадрата равняется корню квадратному из 2, причем сами древние прекрасно понимали, что такая диагональ квадрата несоизмерима со стороной квадрата, то есть не имеет с ней общей меры. Такой квадратный корень из 2 недостижим никакими вычислениями, а, тем не менее он вполне телесен и его можно видеть. Вот это и есть настоящее античное учение о бесконечно малом. Эта бесконечность ни при каких абсолютных вычислениях недостижима, но она телесна и ее можно видеть. Поэтому необходимо сказать, что бесконечно малое ни в какай мере не было в античности уничтожением исходной и вполне конечной телесной интуиции, а, наоборот, было только оживлением и бурлящим смысловым потоком все тех же единораздельных и скульптурных построений.

В этом отношении мы и считаем полезным изучение фрагментов, Евдокса. Свое учение о бесконечно малых приближениях и, следовательно, об иррациональности он иллюстрирует простейшими геометрическими построениями, в интуитивной телесности которых никто не может сомневаться.

Например, у него поднимается вопрос об удвоении куба (фрг. D 24 – 29). Чтобы читатель мог быстрее понять, в чем здесь дело, скажем, что если мы имеем исходный куб, ребро которого равняется 1, то ребро двойного по объему куба будет равняться корню кубическому из 2, то есть величине в полном смысле иррациональной. Как же так? И исходный куб и двойной по объему куб одинаково есть тела видимые или представляемые, и тем не менее ребро удвоенного куба почему то вдруг оказалось иррациональной величиной, достигнуть которую невозможно ни при каком количестве приближений.

Возьмем другой пример. Площади кругов относятся между собою как квадраты, построенные на их диаметрах (фрг. D 59). Но круг – это не только иррациональная величина. Его площадь вычисляется при помощи, величины"p", которая даже сложнее всякой иррациональности. И что же оказывается? Оказывается, что отношение этих сверхиррациональных площадей круга есть не что иное, как отношение квадратов, построенных на диаметрах этих кругов, а в этих квадратах ровно нет ничего иррационального или недостижимого, нет никакой непостигаемой бесконечности, которую необходимо было бы иметь в виду в представлении об этих квадратах.

Возьмем еще пример. Объем конуса равняется одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой (фрг. D 62). Пересекая конус плоскостями, параллельными его основанию, мы, по мере приближения к вершине, будем получать все меньшие и меньшие окружности. И сколько бы мы их ни уменьшали, мы никогда не можем довести их до нуля. И только путем выхода из этого процесса становления, то есть только путем скачка, мы можем получить окружность, по своей площади равную нулю, то есть, оказаться в вершине конуса. Следовательно, конус тоже представим только при помощи бесконечно малого сближения рассекающих его окружностей, параллельных его основанию. Что же касается тезиса о равенстве конуса одной трети цилиндра с теми же основанием и высотой, то одна треть получается здесь потому, что пирамида имеет своим пределом конус, а призма имеет своим пределом цилиндр. Следовательно, и здесь принцип исчерпывания тоже играет главную роль. Также и из конуса, путем постепенного уменьшения угла при его вершине, мы в конце концов приходим к цилиндру, в котором образующие являются уже параллельными одна другой.