Новая философская энциклопедия. Том третий Н—С - Коллектив авторов. Страница 328
СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ - созданная Э. Бэтом формальная разрешающая процедура для формул логики высказываний и логики предикатов. Семантическая таблица состоит из двух (сопряженных) столбцов: в левом столбце пишутся формулы, соответствующие высказываниям, принимаемым за истинные, а в правом — принимаемым за ложные. Рассуждение осуществляется «от противного» (см. Доказательство косвенное). Если необходимо выяснить, следует ли формула В из формул Av ..., Ап, то в левом столбце таблицы пишут формулы Ах ..., Ап, а в правом — формулу В. Если устанавливается общезначимость формулы D, то в правом столбце таблицы пишут эту формулу. Если хотят установить, является ли формула противоречивой, то эту формулу пишут в левом столбце таблицы. Правила редукции, позволяющие переходить от формул, содержащих и логических терминов, к формулам, содержащим меньше чем и логических терминов, являются правилами построения таблицы. Для формул языка логики предикатов, содержащих знаки отрицания, конъюнкции, не- схрогойдизъюнкции,материальнойимпликации, кванторы общности и существования, используются следующие правила редукции. -Л. Если формула -Я имеется в левом столбце таблицы (под-таблицы), то в правом столбце той же таблицы (подтаб- лицы) пишем А. -¦Пр. Если формула -А имеется в правом столбце, то в левом столбце пишем А. лЛ. Если формула АлВ имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В. лПр. Если формула АлВ находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы этого столбца и в левой под-
515
СЕМАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ таблице правого столбца пишем А, а в правой таблице того же столбца — В. vJI. Если формула AvB находится в левом столбце таблицы (подгаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подгаблицы и в левой из них (левого столбца) пишем А, а в правой (того же столбца) — В. vFlp. Если формула AvB находится в правом столбце таблицы (подгаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В. => Л. Если формула Az> В находится в левом столбце таблицы (подгаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подгаблицы и в правой подтаблице левого столбца пишем формулу Дав левой подтаблице правого столбца пишем А. => Пр. Если формула А => В находится в правом столбце таблицы (подгаблицы), то в левом столбце той же таблицы пишем формулу А, а в правом — В. V Л. Если формула Va4(a) находится в левом столбце таблицы (подгаблицы), то в том же столбце помещаем формулу >4(Р), где ? — произвольная индивидная переменная или константа, /4(Р) есть результат правильной подстановки ? вместо a в А(а). Эвристический совет: в качестве В нужно взять индивидную константу, которая уже встречается в подтаблице, или переменную, которая имеет свободные вхождения в какую-то из формул подгаблицы; если таковых нет, то вводится произвольная индивидная константа. V Пр. Если формула V аА(а) находится в правом столбце таблицы (подгаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу Аф), где ? — новая индивидная константа, т. е. константа, не встречающаяся еще ни в левом, ни в правом столбцах, а А($) есть результат правильной подстановки ? в А(а) вместо а.
ЗЛ. Если формула ЗаА(а) находится в левом столбце таблицы (подгаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу Аф), где ? — новая индивидная константа; Аф) — результат правильной подстановки индивидной константы ? в/1(a) вместо а.
ЗПр. Если формула ЗаА(а) находится в правом столбце таблицы (подгаблицы), то втотже столбец помещаем формулу Лф), где ? — произвольная индивидная переменная или KOHcraV Л . Эвристический советтотже, чтоописан при формулировке правила N/Л. Альтернативная подтаблица (а если таковых нет, то таблица) является замкнутой, если некоторая формула входит в ее левый и правый столбцы. Таблица является замкнутой, если замкнуты все ее альтернативные подгаблицы. Метод исследования рассуждений посредством логики предикатов, заданной семантическими таблицами, заключается в следующем. На первом шаге перевода на язык логики предикатов посылки и заключение рассуждения. Напр., рассуждение «Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать логику. Ни один из сыновей Крокса не может понимать логику Сумасшедшие не допускаются к голосованию. Следовательно, никто из сыновей Крокса не допускается к голосованию» на язык логики предикатов переводится так: первой, второй и третьей посылками являются соответственно формулы: Vx(P(x) z> ?(*)), Vx(R(xya)=>-,Q(x) , Vjc(-J> (jc) z> -?(*) , а заключением — формула Vjc(/?(jc, a) z> -*S(x). Второй шаг состоит в построении семантической таблицы, в левый столбец которой пишем формулы, соответствующие посылкам, а в правый — формулу, соответствующую заключению. Далее применяются правила редукции. Vx(P(x)^Q(x)), Vx(R(x,a)^>^Q(x) Vx(-J> (x)=>-?(x) 2./?(&,a)=>-.?(6) 3. -^(b) => S(b) A.R(b)^Q{b) 5. R(b, а) 6. S(b) (1) (2) 7.-40(6) (3) 10. f\b) (5) 12. аь) (6) (4) 9.^S(b) Vx(A(jC,fl)D-wS(jc) l.tf(M)=>^S(6) 5- -f(b) 1 (1) 7. R(by a) (2) 8. Q(b) (3) 9. -f(b) (5) (6) 12. P(b) (4) 11.51(6)] Из рассмотренной таблицы видно, что все ее подгаблицы замкнуты, следовательно, и сама семантическая таблица замкнута. Можно сделать вывод, что анализируемое рассуждение является правильным. В силу неразрешимости логики предикатов возможны три результата: таблица оказывается замкнутой (в этом случае исследуемое рассуждение является правильным, а если анализировалось отдельное высказывание — этовысказываниеявляетсялогическиистинным);всеюзмож- ные правила применены, а таблица не замкнулась (рассуждение является неправильным, а если анализировалось отдельное высказывание — это высказывание не является логически истинным); процесс построения таблицы оказывается бесконечным (в этом случае задача не решена). Описанная техника, с определенными модификациями, применяется для других логических систем, напр., для систем модальной логики. Лит.: Бет Э. Метод семантических таблиц. — В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967; Крипке С. Семантический анализ модальной логики I. Нормальные модальные исчисления высказываний. — В кн.: Фейс Р. Модальная логика. М., 1974; Ивлев Ю. В. Логика. М., 1996. Ю.В. Мелев
СЕМАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ - теория типологии значений выражений естественных и искусственных языков. Различают типы сущностей и типы символов, типы значений выражении языка. Учение о семантических категориях восходит к Г. Фреге и особенно к Э. Tyceepm (Bedeutungskategorien, категории значения). Наиболее интенсивную разработку это учение получило в польской школе логики. Очень близка к учению о семантических категориях теория типов Б. Рассела (см. Логицизм). Но если у Рассела теория типов была введена как средство для предотвращения теоретико-множественных парадоксов, то в польской школе логики — у Спи Лесневского, А. Тарского, IL Айдукевича, Г. Котарбиньского, А. Гжегорчика — эта теория связана с глубокими философскими и лингвистическими проблемами. Для них элиминация парадоксов не единственный и не главный стимул для введения теории семантических категорий.
516
СЕМАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИИ ТЕОРИЯ Лесневский использует эту теорию в исследовании оснований дедуктивных наук. Тарский дает классификацию формализованных языков в зависимости от порядка и числа семантических категорий, к которым принадлежат переменные языка. Целый ряд важнейших результатов Тарского (о том, что метаязык, в котором определяется понятие истины, должен быть богаче объектного языка; невозможность семантического определения истины для языков бесконечного порядка без использования трансфинитной индукции) невозможно даже точно сформулировать, не предполагая определенной теории семантических категорий. Работа Айдукевича, систематически излагающая эту теорию, в то же время явилась первой работой, послужившей основой для внедрения этой теории не только в логику, но и в лингвистику. В 60-е гг. теория семантических категорий получила дальнейшее развитие в англоязычной логической литературе (Р. Монтегю, М. Крессвел и др.). Теория семантических категорий связана с глубинными принципами построения языков—формализованных и естественных. Соблюдение условий, налагаемых ею, является необходимым (но недостаточным!) условием осмысленности выражений любого языка. Предполагается, что выражения языка разбиваются на (непересекающиеся) классы — категории значения. Замена в осмысленном контексте (напр., предложении) одного выражения на другое с тем же типом значения сохраняет осмысленность выражения, хотя смысл его или истинностное значение могут меняться. Предполагается, что языки построены т. о., что их выражения «неравноправны» и взаимозависимы так, что сложные выражения членятся на составляющие по схеме: функтор и его аргументы. При этом каждому функтору соответствует определенное число выражений — его аргументов, принадлежащих к определенным семантическим категориям. Два выражения принадлежат к одной и той же семантической категории, если (1) существует пропозициональная формула (предложение), содержащая одно из этих выражений, и (2) ни одна пропозициональная формула (предложение), содержащая одно из этих выражений, не теряет характера пропозициональной формулы (предложения), если одно из этих выражений заменить другим. Соответственно все выражения языка, являющиеся составными частями пропозициональных формул, подразделяются на классы. Два выражения причисляются к одному классу, только если они принадлежат к одной семантической категории. Однако указанное разбиение предполагает в принципе перебор бесконечного числа пропозициональных формул (предложений). Чтобы избежать этого, принимается основной принцип теории семантических категорий, согласно которому для того, чтобы два выражения принадлежали к одной категории, достаточно, чтобы имелась хотя бы одна пропозициональная формула (предложение), которая содержала бы одно из этих выражений и оставалась бы пропозициональной формулой (предложением) после замены одного выражения на другое. Принятие такого принципа предполагает, что каждое выражение языка принадлежит к одной и только к одной семантической категории независимо от контекстов употребления, тем самым выражения языка разбиваются на непересекающиеся классы (категории). Стандартные формализованные языки удовлетворяют основному принципу этой теории. Семантические категории образуют потенциально бесконечную и весьма разветвленную иерархию. Возможны различные системы семантических категорий в зависимости от того, какие категории принимаются за исходные и всем ли синтаксическим категориям сопоставляются семантические. Айду- кевич, следуя Лесневскому, в качестве основных, исходных категорий принимает категорию имен (сингулярных термов) — /I и категорию предложений (пропозициональных формул) — s, над которыми надстраивается бесконечная иерархия функторных категорий, различающихся числом и категориями аргументных выражений, а также категориями выражений, получающихся в результате применения функторов к их аргументам. В методе индексации категорий функторных выражений, предложенном Айдукевичем, под чертой указываются категории аргументных выражений, над чертой — категория выражения, полученного в результате приложения функтора к его аргументам. Получаем соответственно бесконечную иерархию категорий функторных выражений: s/n, s/nn ,..., s/s, s/ss,..., n/n, n/nn,..., s/n/s/n,... и т. д. s/s — категория унарной логической связки (напр:, отрицания — «Неверно, что...») (см. Логические свяжи); s/ss — категория бинарных логических связок (напр., конъюнкции, дизъюнкции и т. д.); s/n — категория одноместного предика- тора («четкий», «высокий», «быть матерью»); п/п — одноместные предметные функторы (напр., «мать», «король», «вес», «сила» в контекстах «мать Петра», «король Франции», «вес тела», «сила тока»); s/n / s/n — категория выражений «быстро», «очень», «громко» в контекстах вида «бежит быстро», «очень высокий», «говорит громко». Указанный подход позволяет анализировать и устанавливать категории достаточно сложных выражений и операторов. Можно рассматривать операции с отношениями и установить категорию, напр., относительного произведения (композиции) R*Q («мать жены», «сын сестры» и т. п.), в котором оператор относительного произведения * принадлежит категории s/nn/s/nn (в русском языке он репрезентируется родительным падежом, в немецком — предлогом и т. д.). Метод индексаций Айдукевича дает простую процедуру установления категориальной структуры и правильной построен- ности (синтаксической связности) выражений языка. Вслед за категорией функтора пишутся категории его аргументов. Затем проводится последовательное «сокращение» справа налево. Выражение является синтаксически связным, если в результате сокращения остается одна дробь вида a/?,... ?k, где к > 0. Такое сокращение означает, что выражение до конца членится по схеме: функтор и его аргументы. -р з {q V г). s/ss s/ss s/ss ss = s; пропозициональная формула синтаксически связана. (5+2) => 7. s/ss n/nn nnn — указанное сокращение не проходит, выражение не является синтаксически связанным, оно нарушает условие категориальной корректности. Если в качестве исходной семантической категории принимать только категорию сингулярных термов (имен) — п, выражения категорий s/s, s/ss,... (логические связки) выступают как синкатегорематические термины, т. е. необозначающие выражения (номиналистический подход к истолкованию логических связок). Фактически такой подход имеет место, напр., у Г. Фреге в его трактовке логических связок. Особую трудность представляет трактовка кванторов и операторов. Тип их значения (категория значения) выявляется, если наряду с операцией приложения функторов к их аргументам в теории семантических категорий в качестве конструирующей операции вводится обратная ей операция абстракции (см. Смирнова Е. Д. Логика и философия. М., 1996, гл. 3).