Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M - Коллектив авторов. Страница 86

137

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА Зафиксировав понятие вычислимой последовательности, мы сохраняем свободу при определении операторов высших типов. Первым это показал Клини, построив общерекурсивную реализуемость, при которой выполнена схема Vx(\A(x) => ЗуВ(х,у)) =>ЧхЗу(\А(х*> В(х,у)), выражающая всюду определенность всех функций. Возможность выразить формулами первого порядка те высказывания, для которых в классической логике требуются конструкции высших порядков — еще одно преимущество интуиционизма. Принцип Маркова несовместим с данной схемой во всех содержательных интуиционистских теориях, хотя оба они являются классическими тавтологиями. Э. Бишоп (1960), переопределив вычислимые функционалы, предложил вариант интуиционизма, который характеризуется принципом: «использовать лишь алгоритмы, но явно этого не говорить». Этот вариант, в дальнейшем развитый многими учеными, в том числе П. Мартин-Лёфом, соединил многие преимущества брауэровского и марковского подходов. Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих под понятие алгоритма. В частности, он предложил следующие новые типы последовательностей — творческую последовательность а(п) = 0, если в году п не доказана формула А, и 1, если она доказана; и беззаконную последовательность, обладающую следующим свойством: Va (А (а) => 3 n V?(Vm (m < n =* а(т) = ?(m)) =M(?))), т. е. все, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации. Трулстра (1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют интуиционистскую модель, в которой можно промоделировать творческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках. Возможность сформулировать незнание в виде логической формулы — еще одно достижение интуиционизма. С конца 70-х гг. развиваются идеи приложений интуиционизма к программированию, поскольку интуиционистские доказательства могут рассматриваться как полностью обоснованные программы. Как всегда, попытка лобового применения глубоких идеальных концепций оказалась неудачной. В таких случаях нужно искать обходные пути. Ими могут стать системы, основанные на более жестких принципах, не принимающие абстракции потенциальной осуществимости и дающие построения при ограниченных ресурсах. Таковы линейные логики Ж.-И. Жирара, ультраинтуиционистские системы А. С. Есенина-Вольпина и С. Ю. Сазонова, нильпотентные логики Н. Н. Непейводы и А. П. Белътюкова. Голландская школа, наоборот, рассмотрела приложения интуиционистских понятий к теории множеств, расширяющие понятие эффективной операции, и получила ряд глубоких результатов. В частности, аксиома выбора интуиционистски становится почти безвредной, так что она концептуально противоречит исключенного третьего закону, а не эффективности построений. Интуиционистские теории возникают также при категорной интерпретации логики. Интуиционизм, остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других направлений, в частности, формулировке программы Гильберта (см. Формализм). Он выдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Он показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало ущербность плоских прагматических и утилитаристских концепций и возможность рациональной альтернативы традиционному рационализму, что до сих пор как следует не использовано современной философией и системологией. Лит.: ГейтингА. Интуиционизм. М., 1969. Н. Н. Непейвода

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА- первоначально логика интуиционистской математики, получившая впоследствии более широкое применение. Неформально развивалась Л. Брауэром с 1907 г., первую интерпретацию, независимую от интуиционистской идеологии, дал А. Н. Колмогоров, первые формализации построили A Гливенко и А. Гейтинг. Язык интуиционистской логики совпадает с языком классической логики. Сохраняются и правила естественного вывода для всех связок, кроме отрицания. Для отрицания правило снятия двойного отрицания ослабляется до правила «Из лжи следует все, что угодно». В результате ослабляются возможности косвенного вывода — косвенно можно опровергать (по правилу reductio ad absurdum), но, вообще говоря, нельзя доказывать положительные суждения от противного. В интуиционистской логике все связки независимы. Более того, для доказательства утверждения А достаточно пользоваться лишь формулами, не содержащими связок, отсутствующих в А. В интуиционистской логике нет стандартных (нормальных) форм, аналогичных классическим. Как правило, преобразования, связанные с законами формулировки отрицаний и приведения к предваренной форме, действуют лишь в одну сторону. Так, напр., верно —[A v ~iB=> i(A&B), a ~~\(А&В) => iAv~\B выполнено не всегда. Сильный исключенного третьего закон (tertium non datur) отвергается, но его слабая форма «А и его отрицание не могут быть одновременно ложны» —|—I (A v "H/0, сохраняется. Поэтому неправильно трактовать интуиционистскую логику как вводящую дополнительные истинностные значения, она скорее отвергает саму концепцию логических значений. Интуиционистская логика обладает радом выдающихся свойств в классе неклассических логик. Для нее выполнены теорема Крейга об интерполяции: «Если выводимо А => С, то можно построить формулу В, содержащую лишь термины, входящие и в А, и в С, такую, что выводимы А => В,В=$ С» и теорема Бета об определимости: «Если в сигнатуре а выделена подсигнатура а0, и термин Т не принадлежит а0, но сохраняет одно и то же значение для всех моделей теории 77*, в которых совпадают значения терминов из о0, то Т определим через а0 в теории Th.» Эти две теоремы сохраняются лишь для малого числа неклассических логик. Более распространенным свойством является нормализуемость выводов, позволяющая в принципе устранить леммы из доказательств. Оно также выполнено для интуиционистской логики. Выполнено для нее и свойство корректности относительно v и 3 : если доказано A v В, то доказано либо А, либо В; если доказано 3 хА(х), то для некоторого t доказано Aft). Данным свойством классическая логика не обладает. Интуиционистская логика — единственная логика среди континуума логик с тем же языком, что и классическая, для которой выполнены все эти свойства. Таким образом, она может служить основой для содержательных математических теорий, поскольку в ней интуитивная определимость совпадает с формальной. Хотя множества теорем и доказательств интуиционистской логики по объему уже соответствующих множеств классичес-

138

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА кой, последняя вкладывается в интуиционистскую. Первым такое погружение осуществил Гливенко. Таким образом, выразительные возможности интуиционистской логики сильнее классической. В свою очередь, К. Гёдель показал, что интуиционистская логика вкладывается в модальную логику S4. При этом погружении связки &, V , 3 остаются без изменения, а на элементарные формулы и на результаты применения остальных связок навешивается модальность. Интуиционистская логика не может быть описана никакой конечной системой логических значений, и, более того, для нее неестественно описание с помощью таблиц истинности (хотя счетнозначные таблицы истинности для нее существуют). Но она имеет несколько математических интерпретаций. Исторически первой была интерпретация А. Тарского. В ней значениями истинности для предикатов являются открытые подмножества топологического пространства. Значения &, V , 3 определяются булевым образом. Значение ~i А есть внутренность дополнения значения А. Это вызвано тем, что дополнение открытого множества часто не является открытым. Аналогично определяются значения А => Вк V хА(х). Напр., несправедливость А V —\ А можно продемонстрировать следующим образом: объединение открытого единичного круга и внутренности его дополнения дает не всю плоскость, а плоскость без единичной окружности. Следующей интерпретацией была алгебраическая модель — алгебры Линденбаума-Тарского для интуиционистских теорий. Их называют псевдобулевыми алгебрами. Эти алгебры впервые были созданы для данной цели, но оказались распространенной и широко применимой структурой. Параллельно с этим развивалась линия, ведущая начало от бра- уэровского содержательного смысла интуиционистской логики. Формулы истолковывались как задачи, логические связки — как преобразования задач, аксиомы — как задачи, для которых решения считаются известными, а правила вывода — как преобразования решений задач. Данные идеи систематизировал А. Н. Колмогоров. Каждой формуле А сопоставляется множество ее реализаций ®. Каждая реализация считается решением задачи, соответствующей А. Реализации элементарных формул задаются по определению. ®(А&В) = ®А х ®В, где ®{А&В) это пара реализаций <®А®В> ®(AvB) = ®А® ®В, где ®(Av В) — реализация А или В с указанием, какая из подзадач решена; ® "~1А = 0 <=> ®А = 0, где ® —IA — стандартный элемент, например О, при условии, что задача А неразрешима; ® 3хА(х) =©aGu ®A(a), где ®3хА(х) — это пара из значения х0 и решения А(х0). Реализациями А => В являются эффективные функционалы из ®А в ®В. Реализациями V хА(х) являются эффективные функционалы, перерабатывающие каждое а е U в реализацию ^(а). В данном определении остается не уточненным понятие эффективного функционала. Оно может уточняться по-разному, в частности, если взять в качестве эффективных функционалов все классические функции, то логика превращается в классическую. С. К. Клини построил первый точный вариант реализуемости, взяв в качестве эффективных операторов алгоритмы и кодируя программы алгоритмов натуральными числами, обходя таким образом сложности с операторами высших типов (клнниевская реализуемость). Он показал, что из Доказательства в интуиционистской арифметике извлекается клиниевская реализация доказанной теоремы, и, таким образом, если мы доказали ЗхА(х), то имеется такое п, что доказано А(п). Это точно обосновало тезис Брауэра о том, что интуиционистские доказательства дают, в отличие от классических, построения. Еще одна семантика интуиционистской логики берет начало от Бета и развита Крите. Это — один из видов моделей Крип- ке. Множество миров — частично-упорядоченное множестю (достаточно рассматривать дерево), истинность элементарных формул сохраняется при подъеме, универсумы не уменьшаются при подъеме, значения &, V , 3 определяются локально, w = A Z) Во Vv>w(v = А*> V = В), w = —\А» V v >w(—\v = A),w= V xA(x)oV v> w(V aG Uvv=A(a)),me v и w — это «переменные по мирам». Данные пункты практически повторяют на семантическом уровне гёделево погружение интуиционистской логики в S4. Модели Крипке изоморфны алгебраическим и топологическим моделям (порядок определяет псевдобулеву алгебру верхних отрезков множества миров и топологию, в которой окрестностями служат верхние отрезки). Уникальным для неклассических логик является наличие у интуиционистской логики двух разнородных и несводимых друг к другу классов семантик: реализуемостей и моделей Крипке. Аналогия между доказательствами в интуиционистской логике и построениями усилена X. Б. Карри в его «Комбинаторной логике» (Combinatory Logic, 1968). Замкнутые типизированные выражения в комбинаторной логике изоморфны выводам в гилъбертовской формулировке импликативного фрагмента интуиционистской логики. Замкнутые типизированные Х-термы изоморфны выводам в импликативном фрагменте естественного вывода. Изоморфизм между выводами и X.-термами пытались расширить на всю интуиционистскую логику, обобщая ^-исчисление. Но на этом пути стоит препятствие, указанное еще Брауэром и явно выделенное Н. А. Шаниным. Выводы в интуиционистской логике соединяют построения и их обоснования. В частности, построения, проделанные при выводе i А, нельзя вычислять, поскольку они приведут к ошибке. Но подобным же действием могут обладать и другие импликации, в частности, закон транзитивности V xyz (А(х, у) &A(y,z)=>A(x,z). Здесь может привести к нежелательным последствиям вычисление у. Такие объекты, которые нельзя или не нужно вычислять в программе, но нужно рассматривать для ее обоснования, ввел Г. С. Цейтин и назвал «призраками». Н. А. Шанин рассмотрел алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий формулу на задачу и обоснование решения, причем вторая часть могла доказываться классически. Его решение имеет место для рекурсивной реализуемости в теории, пополненной принципом Маркова: V x(A(x)V -пА(х))&-]-\3 хА(х) => ЗхА(х). Содержательный смысл данного принципа раскрывается изречением «Ищите и обрящете»: если известны критерии проверки правильности решения и доказано его существование, то его может найти машина полным перебором. Н. Н. Непейвода дал алгоритм классификации объектов внутри произвольного вывода в интуиционистской логике, отделяющий действующие объекты и формулы от бездействующих, порождающих лишь обоснования и призраки. Интуиционистскую логику пытались варьировать многими способами. Первой вариацией была минимальная логика Иогансона, получающаяся отбрасыванием ex falso sequitur quodlibet. Как оказалось, в прикладных теориях интуиционистское отрицание тем не менее моделируется (напр., в любой теории, содержащей натуральные числа, какА=> 0=1). Но минимальная логика, как и интерпретация Колмогорова, высветила аномальный статус отрицания в интуиционистской ло-