Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике. Страница 16

Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.

Ньютон

Исаак Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком, внёс чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о спрямлении кривых. Для этого он использовал бесконечные ряды — выражения, которые определяются уравнением, первый член которого содержит изучаемую функцию, а второй — бесконечную сумму функций, имеющих схожее поведение. Например, первым членом следующего уравнения является логарифмическая функция, вторым — сумма бесконечного числа степенных функций, поведение которых известно:

Исаак Ньютон на портрете Гэтфрида Кнеллера.

Суть метода Ньютона заключается в том, что с увеличением числа слагаемых второго члена уравнения мы всё больше и больше приближаемся к истинному значению функции. Если мы хотим всего лишь произвести вычисления, достаточно знать желаемую величину ошибки, но если необходимо проанализировать логарифмическую функцию и изучить её поведение, нужно, пусть и неявно, признать существование актуальной бесконечности как суммы ряда. Единственный комментарий Ньютона на эту тему содержится в его работе «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»:

Здесь мы снова видим прагматичный подход Ньютона: учёный говорит, что наши способности воспринять актуальную бесконечность ограничены, но он признаёт её существование как результат рассматриваемых уравнений с бесконечным числом членов.

Во втором издании своей работы «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых», вышедшем в 1736 году (сама работа датирована 1672 годом), Ньютон использует так называемый метод флюксий. Этот метод предполагал интересный переход: Ньютон перестал рассматривать бесконечно малые как нечто статическое и наделил их способностью двигаться. Он рассматривал переменную как непрерывно движущуюся точку (этим же свойством он наделил прямые и плоскости) и назвал флюентами переменные, обладающие этими свойствами, а флюксией — результат такого движения, то есть сравнение двух различных состояний такой точки. Мы не будем подробно описывать метод флюксий Ньютона и лишь повторим, что Ньютон не считал необходимым использовать в своих вычислениях бесконечно малые величины, так как это могло привести к различным противоречиям.

Он рассматривает эти величины

С помощью метода флюксий Ньютону удалось найти касательные к кривым, площади подграфиков, длины кривых, а также максимумы и минимумы функций и точки перегиба для различных кривых. Ему удалось сделать это, избежав проблем, связанных с использованием бесконечно малых величин, однако за это ему пришлось заплатить свою цену. Анализ, построенный на этих предпосылках, имел важные ограничения и открыл путь к другим разделам математики, где властвовали дифференциалы — странные бесконечно малые математические объекты, неразрывно связанные с актуальной бесконечностью.

Метод флюксий изложен во французском издании книги Ньютона, вышедшем в 1740 году.

Лейбниц

Первые математические труды Готфрида Лейбница (1646–1716) были посвящены комбинаторике. В них уже проявилась гениальность учёного, однако они были устаревшими и имели определённые черты, характерные для средневековой науки, которой в немецких университетах той эпохи уделялось большое внимание. В 1672 году Лейбниц отправился в Париж с важной дипломатической миссией. Именно тогда основным родом его занятий стала математика — отчасти это произошло под влиянием Христиана Гюйгенса, который познакомил Лейбница с последними математическими открытиями.

В этот период Лейбниц пишет первые работы, посвящённые суммам бесконечных рядов. Одним из наиболее примечательных результатов стал полученный им и названный в его честь ряд, в котором устанавливается неожиданная связь между числом π и нечётными числами:

π/4=1−(1/3)+(1/5)−(1/7)+(1/9)−(1/11)+…

Несомненно, важнейшими работами Лейбница стали его труды по анализу бесконечно малых, положившие начало важнейшему разделу математики — математическому анализу. Неоценимую роль сыграли верно выбранные обозначения. Так, с помощью знаков d и 

введённых им для обозначения дифференциала и интеграла, стало возможным объединить множество разрозненных и неоднозначных математических понятий. Лейбниц не всегда действовал внимательно и аккуратно, из-за чего многие его результаты были ошибочными, сравнивал себя с тигром, который «позволяет уйти добыче, которую не смог схватить в первый, второй и третий прыжок».

Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинаторика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бесконечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощённом виде на языке современной математики.