Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике. Страница 28

16 декабря 1899 года Кантор вернулся из Лейпцига, где выступал на конференции с докладом о Фрэнсисе Бэконе, и узнал о смерти своего сына Рудольфа: 13-летний музыкально одарённый мальчик отличался слабым здоровьем. После смерти сына Кантор неожиданно заявил, что сожалеет о том, что оставил музыку и занялся математикой, и в результате эта «вздорная идея» помешала ему посвятить себя истинному призванию.

Безумие

О душевной болезни Кантора, от которой он страдал в последние годы жизни, написано немало книг и высказано множество предположений. История болезни учёного не сохранилась, поэтому сложно сказать, каким был настоящий диагноз. Всё указывает на то, что Кантор страдал от заболевания, которое сегодня именуют биполярным аффективным расстройством — болезнью эндогенного характера, при которой фазы эйфории сменяются депрессией. Поэтому версия, согласно которой причиной болезни Кантора стали нападки со стороны его коллег, в особенности Кронекера, выглядит неубедительно.

В последние двадцать лет жизни исследователь периодически по собственному желанию лечился в психиатрических клиниках. Это не мешало ему продолжать работу и в промежутках между лечением публиковать свои исследования. В последний раз он был помещён в клинику в 1917 году. В то время Германия была близка к поражению в Первой мировой войне, экономика страны пришла в упадок, и без того тяжёлые условия пребывания в психиатрических больницах ещё больше ухудшились.

Это единственный раз, когда Кантор был помещён в больницу против своей воли.

В письмах он жаловался на холод, одиночество и скудное питание. Хотя к этому моменту его теории уже получили широкое признание научного сообщества, 6 января 1918 года Кантор умер в ужасных условиях и в полном одиночестве.

Теории Кантора о бесконечности входят в число самых революционных теорий в истории математики за последние 2500 лет, а многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из наиболее выдающихся достижений человеческой мысли.

Была ли болезнь Кантора наследственной или она возникла под влиянием обстоятельств, не столь важно. Возможно, что свою роль в равной степени сыграли оба фактора. Как бы то ни было, Кантор, подобно всем гениям, ясно видевшим то, что для остальных имело лишь бесформенные очертания, страдал от одиночества. В одной из своих философских статей, опубликованной в 1883 году, он написал слова, которые можно в равной степени расценивать и как песнь свободе, и как крик отчаяния в адрес общества, задушенного собственным догматизмом:

Кантор предпочитал использовать понятие «свободная математика» вместо более общего «чистая математика».

Он умер в одиночестве в больнице, но его имя никогда не будет забыто. Лучшая эпитафия Кантору, несомненно, принадлежит Гильберту, который сказал:

Бесконечность в XXI веке

До появления современной физики бесконечность упоминалась только в философских и богословских дискуссиях. В математике она присутствовала, можно сказать, естественным образом, так как, по словам Кронекера, «нам дана свыше» бесконечная последовательность натуральных чисел. Различия между актуальной и потенциальной бесконечностью затронули и геометрию, в которой использовалось понятие бесконечной прямой. Однако полноправным элементом математики бесконечность стала только с появлением математического анализа, анализа бесконечно малых.

Как говорил Гильберт,

Однако частью нашей повседневной реальности бесконечность стала лишь благодаря открытиям в физике и астрономии. До начала XX века астрономы считали, что Вселенная включает Солнце, планеты и далёкие звёзды. Спустя некоторое время они открыли, что Солнечная система — часть галактики, состоящей из нескольких миллионов солнечных систем. Постепенно пространство стало считаться достаточно большим, чтобы вместить несколько миллиардов галактик. Но почему на этом следовало остановиться? Кто сказал, что в космосе не будут обнаружены новые структуры большего размера, что позволит считать, что размеры Вселенной намного больше? Бесконечна ли Вселенная? Ответ на этот вопрос до сих пор не найден и, возможно, не будет найден никогда.

С другой стороны, чем больше учёные изучают субатомные частицы, тем более важную роль в физике начинают играть бесконечно малые величины. Атом как таковой перестал быть неделимым, каким его считали древние греки, и стал подобен Солнечной системе в миниатюре. Однако физики не остановились на этом: были открыты частицы, содержащиеся внутри атомного ядра, и их размеры составляют менее 10⁻¹⁵ метра. Пока что можно вести речь о невообразимо малых, но не бесконечно малых величинах. Тем не менее в одной из физических теорий, которую оказалось труднее всего подтвердить экспериментально, а именно в квантовой электродинамике, изучаются элементарные частицы, в частности электроны и кварки, которые с точки зрения математики рассматриваются как точки, следовательно, они подобны точкам вещественной прямой и ведут себя похожим образом.

Возможно, учёные когда-нибудь докажут, что в природе не существует и никогда не существовало различий между потенциальной и актуальной бесконечностью и что противоречие между ними лишь мнимое.

Приложение

Иррациональность √2

Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 принадлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не только проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его среде. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о существовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.

Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса используется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство звучит следующим образом.

Если √2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как частное двух целых вида