Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография - Гомес Жуан. Страница 6

* * *

Математика для расчетов на наших часах со стрелками, циферблат которых разделен на 12 частей, называется арифметикой по модулю 12. В общем случае мы говорим, что a 

b (mod m), если остаток от деления а на m равен b, при условии что а, b и m — целые числа. Число b сравнимо с остатком от деления а на m. Следующие утверждения эквивалентны:

a 

b (mod m)

b 

a (mod m)

а — b  0 (mod m)

а — b кратно m

Вопрос «Которому часу на часах со стрелками соответствует время 19 часов?» эквивалентен в математических терминах следующему вопросу: «С каким числом сравнимо число 19 по модулю 12?» Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны решить уравнение

19 

х (mod 12).

Разделив 19 на 12, мы получим частное 1 и остаток 7, поэтому

19 

7 (mod 12).

А в случае 127 часов? Разделив 127 на 12, мы получим частное 10 и остаток 7, поэтому

127 

7 (mod 12).

Чтобы повторить изученное до сих пор, давайте рассмотрим следующие операции по модулю 7:

* * *

* * *

Какая связь между модульной арифметикой и шифром Цезаря? Чтобы ответить на этот вопрос, мы запишем в таблице стандартный алфавит и алфавит со сдвигом на три буквы, добавив титульный ряд из 26 чисел.

Мы видим, что зашифрованное значение буквы под номером х (в стандартном алфавите) является буквой, стоящей на позиции х + 3 (также в стандартном алфавите). Поэтому необходимо найти преобразование, которое каждому числу ставит в соответствие число, сдвинутое на три единицы, и взять результат по модулю 26.

Заметим, что 3 является ключом нашего шифра. Таким образом, наша функция записывается как

C(х) = (х + 3) (mod 26),

где х — изначальное значение, а С(х) — зашифрованное значение. Теперь достаточно подставить вместо буквы ее числовое значение и применить трансформацию.

Возьмем в качестве примера слово PLAY и зашифруем его.

Буква Р стоит на позиции 15, С(15) = 15 + 3

 18 (mod 26), а число 18 соответствует букве S.

Буква L стоит на позиции 11, С(11) = 11 + 3 

14 (mod 26), а число 14 соответствует букве О.

Буква А стоит на позиции 0, С(0) = 0 + 3 

3 (mod 26), а число 3 соответствует букве D.

Буква Y стоит на позиции 24, С (24) = 24 + 3 = 27 

1 (mod 26), а число 1 соответствует букве В.

Таким образом, слово PLAY, зашифрованное с ключом 3, превратится в слово SODB.

В общем случае, если х означает позицию буквы, которую мы хотим зашифровать (0 для А, 1 для В, и т. д.), позиция зашифрованной буквы [обозначаемая С(х)] выражается формулой

С(х) = (х + k) (mod n),

где n — длина алфавита (26 в английском алфавите), a k — ключ, используемый в данном шифре.

Расшифровка такого сообщения включает в себя расчеты, обратные тем, что использовались для шифрования. В нашем примере расшифровка означает применение формулы, обратной той, что использовалась выше:

С^-1(х) = (х — k) (mod n).

В случае сообщения SODB, зашифрованного шифром Цезаря с ключом 3 с применением английского алфавита, то есть k = 3 и n = 26, мы получим:

С^-1(х) = (х — 3) (mod 26).

Применим эту формулу следующим образом:

Для S: х = 18, С^-1(18) = 18 — 3 

15 (mod 26), что соответствует букве Р.

Для О: х = 14, С^-1(14) = 14 — 3 

 11 (mod 26), что соответствует букве L.

Для D: х = 3, С^-1(3) = 3–3 

0 (mod 26), что соответствует букве А.

Для В: x = 1, С^-1(1) = 1–3 = —2 + 26 

24 (mod 26), что соответствует букве Y.

Сообщение SODB, зашифрованное шифром Цезаря с ключом 3, соответствует, как мы уже знаем, оригинальному тексту PLAY.