Апология математики (сборник статей) - Успенский Владимир. Страница 12

Но логика сама по себе не создаёт истин. Её законы носят условный характер: если то-то и то-то истинно, то неизбежно истинно то-то и то-то. (Точно так же теория вероятностей не назначает и не может назначать вероятности того или иного события, а лишь указывает, как по одним вероятностям вычислять другие. Например, она не утверждает, что при подбрасывании монеты выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая; она утверждает лишь, что если при одном броске выпадение орла имеет вероятность одна вторая и если результаты бросков не зависят друг от друга, то выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая.) Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай – человек, то и он, Кай, смертен.

Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, это ставит математику на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: её и только её истины могут претендовать на приближение к абсолюту, и они если не «совершенно», то «почти» абсолютны.

Приходится, однако, признать – математику со вздохом, гуманитарию с удовлетворением, – что в этой приближённости математических истин к абсолютным состоит некоторая ограниченность математики. Потому что тот мир, который дан нам в ощущениях, более адекватно отображается скорее в истинах, достаточно далёких от абсолютных.

Даже почитавшиеся незыблемыми законы Ньютона оказались пригодны лишь для сравнительно узкой полосы между микро- и макромирами, а вне этой полосы они требуют замены законами теории относительности.

Что уж говорить о так называемых прописных истинах гуманитарной сферы, будь то истины моральные или эстетические, которые с трудом поддаются, а то и вообще не поддаются оценке в терминах «верно» и «неверно».

Казалось бы, что может быть важнее и первичнее, чем умение отличать истинные высказывания от высказываний ложных? Однако ещё более важным, ещё более первичным является умение отличать осмысленные высказывания от бессмысленных.

Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «Рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Это заявление бессмысленно, поскольку такой совокупности не существует. В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву «р» и потому должны принадлежать этой совокупности. Слово «око» должно принадлежать этой совокупности, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно ей принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр».

Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать всего лишь как ложное. Чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.

Преподавателю-математику, ведущему диалог со студентом-гуманитарием, зачастую приходится просить студента вдуматься в то, что тот только что сказал, и затем спрашивать, понимает ли студент, чтó сказал. Не столь уж редко честные студенты, поразмыслив, в некоторой растерянности признаются, что не понимают.

Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребёнка, он, узнав, что ребёнку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца». Не следует ли способность отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного неназойливо прививать уже с начальных классов школы? И не является ли это главным в школьном преподавании?

Надо сказать, что квалификация высказывания как ложного, бессмысленного или непонятного, как правило, требует некоторого усилия – иногда почти героического. Как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать? Не все и не всегда способны на такое усилие.

Способность к усилию, о котором только что говорилось, вырабатывается (во всяком случае должна вырабатываться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика – наука по природе своей демократическая. На её уроках воспитывается (а при косвенном воздействии – прививается) демократизм.

Внешние формы такого демократизма произвели большое впечатление на автора этих строк в его первые студенческие годы, когда в конце 1940-х гг. он стал обучаться на знаменитом мехмате – механико-математическом факультете Московского университета. Если почтенный академик обнаруживал, что выступающий вслед за ним студент собирается стереть с доски им, академиком, написанное, он с извинениями вскакивал с места и стирал с доски сам. Для профессора мехмата было естественно самому написать и вывесить объявление, но не для профессора гуманитарного факультета.

Эти внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто её произносит – академик или школьник. При этом академик может оказаться неправ, а школьник – прав.

Реакция Колмогорова на третьекурсника, опровергнувшего его на лекции, была такова: он пригласил студента к себе на дачу, там покатался с ним на лыжах, накормил обедом и взял себе в ученики.

С горечью приходится признать, что подобный демократизм имеет свои издержки, на что указывает Андрей Анатольевич Зализняк:

Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины ещё недавно ощущалась довольно сильно. «Это верно, потому что сказано имяреком» или даже «Это верно, потому что сказано мною» – такие категорические заявления, высказанные в явной или чаще неявной форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. (И имярек в первой фразе, и первое лицо во второй фразе обычно относились как раз к одному из тех «носителей казённых титулов», о которых говорит Зализняк.)

В естественных науках и в математике подобные заявления невозможны. Впрочем, в тоталитарном обществе принцип верховенства мнения того, кто на должность авторитета назначен властью, применялся с печальными последствиями и к естественным наукам – достаточно вспомнить лысенковщину. Проживи Сталин дольше, возможно, изменению подверглась бы и таблица умножения. Предпринимались же попытки отменить теорию относительности.

Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея.

Царь изъявил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик взялся его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: «Нет царского пути в геометрии».