Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов. Страница 6

Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, потому что она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни.

Письмо, отправленное Фаркашем Бойяи своему сыну Яношу после того, как он узнал, что тот работает над пятым постулатом Евклида

Рассмотрим модель Клейна. Допустим, что наше пространство свелось к внутренности круга (за исключением его краев), и создадим что-то вроде словаря, в котором будет установлено поочередное соответствие ряда терминов — как в обычном двуязычном словаре, в котором значение слов то же. Когда Евклид говорит: «точка», мы думаем о точках внутри этого круга, когда он говорит: «прямая», подразумеваются отрезки, которые начинаются и заканчиваются на краю круга. Такой перевод позволяет построить модель неевклидовой геометрии внутри собственно евклидова пространства. Что происходит с аксиомой параллельных прямых. При заданной прямой r и не лежащей на ней точке А существует более одной прямой, параллельной r, которая проходит через А. Действительно, прямые s и t параллельны прямой r внутри круга, поскольку они никогда не пересекаются в нашем пространстве (см. рисунок 1). Буквально из ничего была создана новая странная вселенная. Евклид был серьезным образом потеснен.

РИС. 1

Сомнения касательно неевклидовой геометрии не рассеялись, даже когда распространились идеи диссертации «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», написанной Бернхардом Риманом (1826-1866). В 1854 году он прочитал ее 80-летнему Гауссу, который не скрыл своего энтузиазма в отношении услышанного, однако опубликована эта работа была лишь после его смерти. Основываясь на исследованиях Гаусса в области дифференциальной геометрии, Риман предположил, что в каждом пространстве может быть определена различная форма измерения расстояния, так что прямая в этом пространстве (которая по определению является «самым коротким путем между двумя точками») не совпадает с имеющимися у нас представлениями о ней. Итоговая особенная кривая, так называемая геодезическая, будет играть в этом пространстве роль, которую прямая линия играет в евклидовой геометрии. Согласно Риману, для евклидова пространства характерна постоянная нулевая кривизна, где есть единственная параллельная прямая (см. рисунок 2 [1]). Но если изменить значение кривизны, мы получим другой тип пространства, который окажется моделью неевклидовой геометрии. Если кривизна отрицательная, мы получим гиперболическую геометрию Гаусса — Бойяи — Лобачевского, где через точку, не лежащую на прямой, проходит более одной параллельной ей прямой [2]. И наоборот, если кривизна положительная, мы получим эллиптическую геометрию, в которой нет параллельных прямых [3].

РИС. 2

Риман помог истолковать сферу в качестве модели эллиптической геометрии, а следовательно — неевклидовой геометрии, в которой аксиома параллельных прямых ложная, в том смысле, что нет параллельных прямых (как, допустим, в проективной геометрии). В сфере роль прямых берут на себя наибольшие круги. То есть если мы назовем прямыми наибольшие круги, то получим евклидову модель эллиптической геометрии.

Два любых наибольших круга всегда пересекаются. Это случай меридианов Земли, которые всегда пересекаются на полюсах. Поскольку аксиома параллельных прямых не выполняется, сумма углов треугольника не составляет 180°, что показано на сферическом треугольнике на рисунке 3, углы которого в сумме дают 230°. Однако локально, в небольшом масштабе, евклидова геометрия, похоже, выполняется (см. рисунок 4, сумма углов треугольника составляет 180°). Эти открытия позволили Риману рассматривать проективную плоскость в контексте сферической геометрии.

Так что неевклидовы геометрические модели, извлеченные на свет математиками XIX века, только вернули данный вопрос в рамки евклидовой геометрии. Если последняя раньше считалась единственно справедливой, теперь же странные неевклидовы геометрии рассматривались наравне с евклидовой геометрией (которая оказывалась их особым случаем), и возникал правомерный вопрос: в чем же справедливость евклидовой геометрии? Можно ли с уверенностью утверждать, что она не содержит никаких противоречий?

Важнейшим следствием из признания неевклидовых геометрий была необходимость рассмотреть проблему справедливости геометрии и всей математики с точки зрения оснований. До тех пор связность евклидовой геометрии обеспечивало то, что она соответствовала физическому пространству, в котором нет противоречий. Кроме интересных результатов, количество которых постоянно возрастало, внимание также привлекали и основополагающие вопросы. Аксиоматический подход последней трети XIX века, во главе которого стояли Мориц Паш (1843-1930) и Джузеппе Пеано (1858-1930), обозначил их особенно остро, и только Гильберт смог дать определенный ответ. Но прежде требовалось найти подходящую аксиоматику евклидовой геометрии, которая закрыла бы постепенно открывающиеся логические бреши.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД ГИЛЬБЕРТА

Как это было с теорией инвариантов, настал день, когда Гильберт устал и оставил теорию чисел, переключившись на основы геометрии. Никто не ожидал такого, пусть даже он и вел два курса по этому предмету в Кёнигсберге. Эта новость застала врасплох всех его новых коллег по Гёттингену. Однако в своем «Отчете о числах» Гильберт подчеркивал, что современная математика развивается под знаком числа, и потому призывал к арифметизации геометрии, ориентированной на логический анализ последней. В этом угадываются зачатки его знаменитых Grundlagen der Geometrie («Основания геометрии»), публикация которых в 1899 году была приурочена к открытию в Гёттингене статуи Гаусса и Вебера в память об изобретении ими телеграфа. Эта работа сразу же обозначила новую парадигму исследования оснований и аксиоматическую практику в XX веке, как «Начала» за несколько веков до этого.

В книге излагалась аксиоматика геометрии, которая на голову превосходила аксиоматику не только Евклида, но и предложенные Пашем и Пеано. Гильберт заявил, что работа по установлению минимального числа гипотез, из которых можно вывести всю геометрию, осуществлена не полностью, и сформулировал 21 аксиому. Эти аксиомы возникли не из ниоткуда, их скрыто или открыто применяли еще в древности. Они были продуктом не чистой мысли, а скорее интуиции (это логично, учитывая, что книгу открывает цитата из Канта). В том виде, как ее задумывал Гильберт, геометрия была ближе к механике и физике, чем к алгебре и теории чисел.

Гильберт сформулировал свои аксиомы для трех систем неопределенных объектов. Объекты первой системы он назвал точками; второй — прямыми; а третьей — плоскостями. Но, в отличие от Евклида, он не дал определений элементарным геометрическим понятиям. Сами аксиомы определяют их, устанавливая внутренние отношения. В них самих содержатся утверждения о точках, прямых и плоскостях и о том, что с ними можно делать. По Гильберту, нужно избавиться от налета толкований элементарных объектов. Аксиомы, и только они (без каких-либо предварительных определений или рисунков), характеризуют элементарные объекты через их взаимоотношения. «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках», — писал он. Аксиомы допускают множественные толкования, и в этом коренное различие материальной аксиоматики Евклида и новой формальной аксиоматики Гильберта.

Используя все свое математическое умение, 21 аксиому евклидовой геометрии он классифицировал по пяти группам:

— аксиомы принадлежности, которые связывают между собой различные объекты, например позволяют утверждать, что «эта точка принадлежит этой прямой» или «эта прямая принадлежит этой плоскости»;