Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Арбонес Хавьер. Страница 9

Первые такты мессы L'Homme arme super voces musicales («Вооруженный человек») Жоскена Депре, которая начинается с трехголосного канона. Ведущий голос самый медленный, второй исполнитель поет в два раза быстрее него, третий — в три раза быстрее. Линии соединяют первые четыре ноты произведения для каждого из трех голосов.

* * *

С математической точки зрения интерес представляет поиск метода, позволяющего составлять подобные последовательности. В нем должны учитываться следующие параметры:

— общее число артикуляций (а),

— число голосов (v),

— смещение голосов (d).

Чтобы эта задача имела решение, должны выполняться следующие условия:

— число артикуляций а должно делиться на число голосов и нацело;

— нужно «покрыть» а артикуляций с помощью v голосов. Так как все голоса эквивалентны, базовая структура должна состоять из a/v «единиц»;

— голоса смещаются относительно друг друга на величину, равную a/v. Это гарантирует, что ни в один момент времени не будут дублироваться единицы.

Приведем пример для четырех артикуляций (а = 4) и двух голосов (v = 2).

Смещение равно a/v = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:

1100

1001

Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть, что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом случае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:

Во втором случае так:

Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями, исполняемыми в 3 голоса, то

то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.

Возьмем за основу следующую структуру:

0000 0000 0000.

Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встречалась ровно один раз:

1000 0100 0011.

Чтобы избежать удвоенных ударов (несколько единиц в одном столбце) необходимо выполнить смещение на величину а/v, которая в нашем случае равняется 4.

* * *

* * *

Акцент и размер такта

В музыкальных композициях сильные доли чередуются со слабыми. В нотной записи сильные ноты формируют структуру композиции: с каждой сильной доли начинается такт, который длится до следующей сильной доли. Таким образом, такт — это совокупность нот и пауз между соседними сильными долями. Такты равномерного музыкального произведения имеют одинаковую длину и те же свойства. Благодаря этой равномерности достаточно определить параметры такта один раз в начале композиции.

Виды тактов

Доли такта могут делиться на две или три части. Такт обозначается дробью, которая может быть правильной (для простых тактов) и неправильной (для сложных). В числителе дроби отмечается количество долей, в знаменателе — число, означающее длительность долей. Например, целой ноте соответствует единица, половинной — 2, четвертной — 4 и так далее. В простом такте знаменатель указывает относительную длительность ноты такта. В сложном такте знаменатель обозначает используемое ритмическое деление. Чаще всего применяются четвертная нота (она равна восьмой ноте и восьмой паузе; здесь используется ритмическое деление на две части) и четвертная нота с точкой (она равна восьмой ноте и двум паузам подряд; здесь мы видим ритмическое деление на три части).

Рассмотрим несколько примеров. Простой такт из двух долей длительностью в четвертную ноту, 

Число 2 обозначает количество долей, число 4 указывает, что доля имеет длительность в четвертную ноту. Сложный двухдольный такт будет образован двумя долями длительностью в четвертную ноту с точкой:

Возникает проблема: четвертной ноте с точкой не соответствует ни одно число (ни какая-то другая нота с точкой), поэтому длительность этого такта нельзя выразить в знаменателе дроби. Эта проблема решается так: указывается не длительность такта, а число, соответствующее ритмическому делению доли. В нашем примере четвертная нота с точкой ритмически делится на восьмую ноту и две восьмые паузы. Такт состоит из двух четвертных нот с точкой, следовательно, он будет состоять в сумме из шести восьмых нот и пауз и обозначаться дробью 6/8.

Нотация, которую мы использовали для обозначения чистого ритма, позволяет четко увидеть чередование нот и пауз (единиц и нулей):

При трехдольном ритмическом делении единицы чередуются с двумя нолями:

Наиболее часто используемые такты и соответствующее число долей приведены в таблице:

* * *