В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович. Страница 40

А теперь посмотрим, что мы написали. Любой угол φ — величина безразмерная. (В радианной мере угол — это отношение дуги единичной окружности к радиусу.)

Слева у нас безразмерная величина. Какой бы масштаб измерения ни был выбран — сантиметры, метры, дюймы, она останется неизменной.

Справа же функция от размерного аргумента. Неважно, какой она имеет вид. Важно, что какой бы ни была, ее численные значения будут изменяться при изменении масштаба. Если, скажем Π(x) = 1/x², то при x = 1 м, Π(x) = 1 м^–2.

Но при выборе за единицу масштаба 1 см

Очевидно, мы пришли к нелепости. Зависимость, предложенная нами, невозможна. Следовательно, пятый постулат доказан.

Все рассуждение абсолютно верно. Кроме вывода. Вывод же должен быть другим. Из тех же соображений размерности ясно, что в нашей формуле справа в аргументе функции должна стоять безразмерная величина. Уравнение должно быть таким:

где k — какой-то неизвестный нам пока отрезок. Но возникает вопрос: откуда его взять, этот отрезок k? Ведь весь анализ показывает, что угол параллельности φ зависит только от единственного расстояния — расстояния точки до прямой.

Нам остается лишь один выход. Надо допустить, что в новой геометрии существует как бы заранее самой природой заданный постоянный масштаб.

Существует некая постоянная длина, определяющая все остальные длины.

Это странно, но совсем не абсурдно. Например, в двумерной евклидовой геометрии сферы такая выделенная длина есть. Это радиус сферической поверхности.

И, используя для геодезических съемок Марса формулы обычной евклидовой сферической геометрии, мы должны будем помнить, что некоторые «постоянные» в наших земных таблицах существенно изменятся.

Лобачевский не был смущен кажущимся парадоксам и ввел постоянный отрезок k и нашел уравнение для угла параллельности. Оно столь просто, что можно его привести:

где e — основание натуральных логарифмов.

Из этого уравнения сразу видно, что когда ^x/_k → 0, то:

Когда φ = 90°, с высокой степенью точности выполняется геометрия Евклида.

Но ^x/_k близко к нулю, когда x <<k.

Теперь наши слова о малых отрезках, сказанные чуть раньше, получили точный смысл.

Если расстояние от точки, через которую мы к данной прямой проводим параллельную, много меньше постоянного отрезка k — приближенно выполняется геометрия Евклида.

В предельном случае, когда k = ∞, геометрия Евклида выполняется всегда и совершенно точно.

Естественно, первый вопрос, возникший у Лобачевского, был: как найти отрезок k?

И здесь оказывается, что его геометрия в определенном смысле «лучше» евклидовой.

Никакие теоретические рассуждения не помогут определить k. Он тó, что у физиков называется «константа теории». Найти его можно только опытным путем, только призывая на помощь конкретные физические измерения.

Угол параллельности, конечно, не измерить непосредственно, но можно, например, измерить сумму углов треугольника. «Дефект суммы» у данного треугольника зависит от значения k.

Как помните, и Лобачевский и Гаусс стимулировали подобные измерения, но ничего не выяснили.

Вообще сам Лобачевский никогда не утверждал, что именно его геометрия описывает мир. Напротив, он склонялся к мысли, что в нашем мире осуществляется геометрия Евклида.

Но это не так важно. Замечательно, что с самых первых шагов новая геометрия теснейшим образом связана с физикой, что ее немыслимо оторвать от эксперимента.

Естественно, что это непосредственно наталкивает мышление на важнейший вопрос о связи геометрии вообще с реальным миром. О возможности различных геометрий этого мира.

Вопрос, который, как мы уже говорили, не то что не предлагался, но вообще представлялся пустым и нелепым математикам в течение двух с лишним тысяч лет.

Волей-неволей появление неевклидовой геометрии возрождает проблему эксперимента. Действительно ли нам так совершенно известно, что «господь бог создал землю по законам евклидовой геометрии», как это полагал Иван Карамазов?

Это всегда очень красиво, когда абстрактные формулы вдруг наталкивают на совершенно неожиданные идеи, идеи, о которых и не подозревал автор при выводе этих формул.

Все эти выводы так пленительно изящны, что можно понять Бояи и Лобачевского, поверивших в логическую безупречность своей системы.

Причем сейчас мы обсудили лишь один из выводов самой первой работы Лобачевского — доклада в 1826 году.

Свою схему он сразу развил значительно глубже, а остальные результаты были не менее красивы. Однако в математике вопросы веры не являются решающими.

Гарантии, что где-то в дальнейшем не встретится логическое противоречие, не было.

И все остальные годы Лобачевский настойчиво пытается найти это доказательство.

Он стремится строго показать: его система безупречна. И по пути он разрабатывает самые разные, самые неожиданные следствия своей геометрии, все более и более углубляется в ее дебри.

Здесь он, вне всяких сомнений, выше своих соперников. Ни Бояи, ни Гаусс не прошли того пути, что проделал он.

Доказательства он не нашел. Хотя и был довольно близок к основной идее.

Но с чисто человеческой стороны его настойчивый, неизменный, подчиненный единственной цели труд вызывает чувство восхищения.

Глава 10

Новые идеи — Риман. Итог — непротиворечивость

Будь я склонен к рекламе, я начал бы с того, что в этой главе речь пойдет о поразительных по своей красоте вещах.

Но вместо этого я честно уведомляю читателей, что по крайней мере первая половина этой главы — довольно сухая математика.

Итак, сначала о теории поверхностей.

Прародителем ее был все тот же Гаусс. Чтобы сохранить все же какую-то видимость популярного рассказа, сформулируем интересующие нас вопросы так.

Пусть на какой-то прихотливо изогнутой поверхности обитают некие разумные двумерные существа. Какова будет их геометрия, во-первых? Как смогут они (если смогут) заметить, что их поверхность искривлена, во-вторых?

Вероятно, второй вопрос на первый взгляд представляется совершенно наивным. И возможно, читателям сразу вспоминаются доказательства шарообразности Земли, приводимые в учебниках географии для четвертого класса. Но если чуть-чуть внимательней подумать о доказательствах этого сорта, становится ясно: в них используется тот факт, что мы — трехмерные существа, живущие на двумерной поверхности.

И чтобы иллюзия наивности исчезла, достаточно задуматься: как можно обнаружить, искривлен ли наш трехмерный мир, а также что вообще означает эта столь часто употребляемая фраза?

Но о трех- и четырехмерном мире — чуть позже, а пока вернемся к поверхностям.

Гаусс начал с того, что ввел замечательную величину, определяющую геометрию поверхности. Это гауссова кривизна.

Прежде всего анонсируем важнейшее свойство гауссовой кривизны.

Гауссова кривизна остается постоянной при любом изгибании поверхности, если только не происходит растяжения.