В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович. Страница 44

И лучше вернемся к модели Клейна, чтобы отметить одно забавное место.

Возьмем две точки внутри нашего круга. Проведем через них хорду. На евклидовом языке расстояние между этими точками равно длине отрезка хорды. Каково оно на неевклидовом языке?

Уже интуитивно ясно, что, во всяком случае, оно не может быть равно длине этого отрезка. Действительно, расстояния между двумя точками на бесконечной плоскости Лобачевского могут быть сколь угодно велики. А «евклидовы расстояния» между точками нашего круга ограничены его диаметром. Ясно, что «неевклидово расстояние» надо определить как-то по-другому. Но как? Ответ легко находится, если вспомнить, как вообще вводится понятие длины в геометрию.

Грубо говоря, это делают так.

Берется масштабный отрезок и посредством преобразования движения совмещается с измеряемым. Длина измеряемого отрезка определяется тем, сколько раз на нем можно отложить масштабный.

Не будем сейчас задерживаться на тонкостях. Нам важно лишь то, что определение равенства отрезков (а следовательно, и понятие длины), как, впрочем, и равенство любых геометрических фигур, определяется при помощи понятия движения.

Так обстоит дело и в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

Но в нашей модели движение в плоскости Лобачевского на евклидовом языке — проективное преобразование круга. Следовательно, на языке геометрии Лобачевского оказывается, что два отрезка равны, если один переходит в другой при проективном преобразовании. Вспомнив еще, что длина не должна меняться при преобразовании движения, мы понимаем, что «неевклидова длина» должна оставаться неизменной при проективном преобразовании. Как говорят в математике, быть инвариантом преобразования. Такая величина, естественно, известна для проективных преобразований круга. Если учесть еще, что длина суммы двух отрезков должна быть равна сумме длин этих отрезков, то оказывается, что «неевклидово расстояние» определяется однозначно. И конечно, оно ведет себя так, как надо, то есть обращается в бесконечность, когда одна из точек оказывается на контуре круга.

Контур круга соответствует бесконечно удаленным точкам плоскости Лобачевского.

Конечно, несколько экстравагантный характер «неевклидова движения» в модели Клейна сказывается и в том, что величина «неевклидова угла» между двумя прямыми совсем не то, что величина между двумя хордами на евклидовом языке. Но это все уже детали. Важные, но детали. Главное уже сказано раньше.

И последнее.

Чтобы доказать непротиворечивость стереометрии Лобачевского, достаточно круг Клейна превратить в шар.

Через несколько лет после Клейна французский математик Пуанкаре предложил другую модель геометрии Лобачевского. Тоже на шаре. Она, быть может, еще более замечательна. Более того, Пуанкаре даже примыслил удивительный по своим физическим свойствам мир существ, которые, с евклидовой точки зрения, жили бы в ограниченном круге Пуанкаре, а со своих позиций утверждали бы, что они в бесконечной плоскости Лобачевского.

В этом мире «прямые Лобачевского» на евклидовом языке — дуги окружностей, перпендикулярных к поверхности шара. На предыдущей странице читатель может полюбоваться моделью Пуанкаре.

Но, как ни привлекательна «сфера Пуанкаре», нам следует остановиться.

И в лучших традициях детектива снова прервем рассказ в самый интригующий момент.

Глава 11

Неожиданный финал — общая теория относительности

На этот раз мы попали в совсем тяжелое положение. До геометрии Римана, чтобы понять текст книги, говоря формально, требовались сведения в объеме семи-восьми классов средней школы.

Еще можно было как-то пытаться более или менее связно передать суть доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, а также идеи Римана. Теперь дело совсем плохо. Для того чтобы реально, на деле почувствовать содержание общей теории относительности, необходимо достаточно ясно представлять себе специальную теорию. А автор не имеет морального права требовать столь глубоких знаний от читателей и не имеет возможности подробно обсуждать специальную теорию.

Вообще говоря, самым честным выходом в подобной ситуации было бы просто не писать ничего. И соблазн, как вы понимаете, был весьма велик.

Но в этом случае от всей «симфонии» пятого постулата был бы отброшен торжественный, чисто бетховенский финал.

Я надеюсь, что столь эффектная фраза убедила читателей: подобное решение невозможно. Поэтому, честно предупредив, что дальнейшее еще более поверхностно и конспективно, чем предыдущее, перейдем к сути дела.

На идее «неевклидовости» пространства непосредственно строится общая теория относительности. И она наиболее интересна для нас. Поэтому постараемся совершенно не касаться содержания специальной теории относительности и вообще ни слова не говорить о ней… разве что кроме нескольких.

Геометрия после 1905 года. …Уже специальная теория относительности существенно изменила наши взгляды на геометрию. Начнем с того, что попытаемся уяснить связь геометрии и физики вообще, а также посмотреть, что изменилось в геометрии в результате создания специальной теории относительности.

До Эйнштейна существовала всеобщая и твердая уверенность, что в нашей реальной вселенной безраздельно царствует евклидова геометрия. Не было никаких оснований думать иначе. Теоретическая возможность: наш мир описывается какой-либо неевклидовой геометрией — оставалась чисто теоретической, а подозрения Лобачевского и Римана — не более чем умозрительными подозрениями. Положение было аналогично тому, как если бы вы заявили: «Формальной логике совершенно не противоречит предположение, что некто «X» марсианин».

«Допустим, — услышали бы вы в ответ, — но все эксперименты показывают, что «X» — житель Земли».

Так вот, после создания специальной теории появились первые реальные сомнения, что «проблема происхождения джентльмена «X» не так уж кристально ясна».

Прежде чем говорить что-либо о существе изменений в позиции физиков, необходимо забыть о том, что на протяжении долгого времени мы были в лагере математиков, и перекочуем в стойбище физиков.

Посмотрим, что такое геометрия для математиков и физиков.

Для математика, мы уже не раз заявляли это раньше, геометрия, по существу, являлась формальной игрой с Основными Понятиями и аксиомами, выбранными для этих Основных Понятий. Ему необходимо, чтобы эта «игра» удовлетворяла правилам формальной логики, и на этом этапе ему безразлично, может ли его геометрия претендовать на связь с тем реальным миром, где все мы живем, или нет.

Конечно, все были безоговорочно убеждены, что евклидова геометрия отражает свойства нашей вселенной. Но это считалось и само собой разумеющимся. Неким естественным свойством человеческого разума. Об опытном фундаменте геометрии как-то забыли. Более того, до работ Лобачевского две тысячи лет геометрию последовательно ограждали, очищали от связи с опытом, от «эмпирической основы».

Эйнштейн несколько ехидно, но очень точно заметил, что с аксиомами и Основными Понятиями происходил процесс, аналогичный превращению героев древности в богов. Вместо реальной основы возник «миф о геометрии» — некое смутное представление об аксиомах как о чем-то «неотъемлемо присущем человеческому сознанию, интуиции, духу». Понять смысл последних слов довольно трудно, возможно, потому, что он отсутствует. Но надо сказать, что гипноз абстрагирования был столь велик, что заворожил многих достаточно разумных людей. Среди них были и физики. Можно даже найти имена ученых, явно не лишенных некоторых способностей. Например, Исаак Ньютон.

Его Основные Понятия, открывающие «Начала натуральной философии», — принципиально ненаблюдаемые, непознаваемые.