(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью - Млодинов Леонард. Страница 14
В 1516 г. Джероламо решил податься в медицину. Он объявил, что собирается покинуть семью и отправиться на учебу в Павию. Фачио, конечно же, хотел, чтобы сын изучал право – в таком случае ему ежегодно выплачивали бы стипендию в 100 крон. После жуткого семейного скандала отец сдался, но по-прежнему не решен был вопрос: на что Джероламо будет жить в Павии без стипендии? Джероламо начал копить деньги, зарабатывая на чтении гороскопов, частных уроках по геометрии, алхимии, астрономии. Кроме того, Джероламо заметил, что в азартных играх ему сопутствует удача, к тому же игра приносила гораздо больше, чем любые другие занятия.
Для тех, кто во времена Кардано испытывал страсть к азартным играм, везде был Лас-Вегас. Повсюду заключали пари, будь то карты, кости, нарды, даже шахматы. Кардано все игры делил на два типа: те, которые требовали применения некой стратеги или умения, и те, победа в которых зависела от чистой случайности. Возьмись Кардано за шахматы, он бы рисковал тем, что его мог обыграть какой-нибудь Бобби Фишер тех времен. Когда же он ставил на парочку кубиков, шансы его были такими же, как и у остальных. Но даже в этих играх Джероламо добился преимущества – он лучше других разобрался в вероятности выигрыша в разных ситуациях. И вот, вступая в мир, где заключают пари, Джероламо стал играть в игры, выигрыш в которых зависел от случая. Прошло немного времени, и он скопил на учебу 1 тыс. крон – в десять раз больше той стипендии, которую хотел для него отец. В 1520 г. Джероламо записался студентом в университет в Павии. И вскоре приступил к работе над теорией азартных игр.
Кардано жил в XVI в., и у него было преимущество – он понимал многое из того, что древние греки в силу своей древности не знали, как не знали римляне, и в чем индийцы делали лишь первые шаги, пользуясь арифметикой как эффективным инструментом. Именно последние развили позиционную систему счисления по целочисленному основанию 10, которая стала общепринятой около 700 г. н. э. [64] Они же совершили большой прорыв в арифметике дробей, что просто неоценимо для анализа вероятностей, поскольку вероятность того, что событие произойдет, всегда меньше единицы. От индийцев эти знания переняли арабы, а уже от арабов они перешли к европейцам. Первые сокращения – p для «плюса» и m для «минуса» – начали использовать с XV в. Символы «+» и «—» ввели примерно в то же время германцы, но только для того, чтобы обозначать избыточность и недостаточность товаров. Так что легко представить, с какими трудностями пришлось столкнуться Кардано; к тому же и знак равенства еще не существовал, его изобрел в 1557 г. Роберт Рекорд из Оксфорда и Кембриджа. Роберт Рекорд, вдохновленный геометрией, заметил: ничто не выражает идею равенства так полно, как две параллельные прямые; таким образом, было решено использовать их в качестве обозначения равенства. А символ «x», то есть умножение, изобретение которого приписывают англиканскому священнику, появился только в XVII в.
В своем «Трактате об азартных играх» Кардано касается и карточных игр, и костей, и нард, и даже игры в «бабки». Трактат, конечно, не совершенен. Он отражает характер самого Кардано, его безумные идеи, необузданный нрав, ту страсть, с которой он брался за каждое свое предприятие, а зачастую и перипетии его жизни в те непростые времена. В «Трактате» рассматриваются только процессы – подбрасывание кости или манипуляции с игральными картами, – в которых один исход так же вероятен, как и другой. И кое в чем Кардано заблуждается. Но все же «Трактат об азартных играх» – это поворотный момент, первый успех в исканиях человечества, пытающегося понять природу неопределенности. Метод, с помощью которого Кардано энергично взялся за решение вопросов вероятности, удивительно действенный и в то же время простой.
Не все главы «Трактата» Кардано посвящены техническим моментам. К примеру, глава 26 называется «В самом ли деле те, кто способен научить, так же хорошо играют сами?» (Кардано делает вывод: «Выходит, одно дело знать, и совсем другое – применить на практике».) Глава 29 называется «О характерах игроков». («Есть и такие, которые своим многословием затуманивают ум и себе, и другим».) Это уже больше похоже на «Дорогую Эбби» [65], нежели на «Спросите Мэрилин». Но есть и глава 14 «Об общих точках» (речь идет о вероятностях). И в ней Кардано выводит, по его словам, «общее правило» – наш закон пространства элементарных событий.
Термин «пространство элементарных событий» подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство заключает в себе всего несколько точек, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как то пространство, в котором мы живем. Кардано, конечно же, не употреблял термина «пространство»: понятие о том, что набор чисел может формировать пространство, появилось лишь столетие спустя, у Декарта, который изобрел систему координат и унифицировал символику алгебры и геометрии.
На современном языке правило Кардано звучит следующим образом: «Предположим, случайный процесс имеет множество одинаково вероятных исходов: некоторые из них благоприятны (то есть ведут к выигрышу), некоторые неблагоприятны (то есть проигрышные). Вероятность благоприятного исхода равна доле благоприятных исходов. Множество всех возможных исходов образует пространство элементарных событий». Другими словами, брошенный кубик опускается на любую из шести своих сторон, и эти шесть исходов формируют пространство элементарных событий. Если вы ставите пари на, скажем, два из них, ваши шансы выиграть равны 2 из 6.
Скажем пару слов о предположении, будто все исходы в одинаковой степени вероятны. Очевидно, что это не всегда так. Пространство элементарных событий в плане веса Опры Уинфри в зрелом возрасте вмещает в себя (так уж сложилось исторически) от 66 до 107 кг, и с течением времени не все весовые промежутки оказались в одинаковой степени вероятными [66]. То осложнение, что разные возможности имеют разные вероятности, можно учесть, соотнеся соответствующие шансы с каждым возможным исходом, то есть произвести точный подсчет. Однако пока что рассмотрим примеры, в которых все исходы в одинаковой степени вероятны – именно их и анализировал в своей работе Кардано.
Эффективность правила Кардано неразрывно связана с некоторыми тонкостями. Одна из них заключается в значении термина «исходы». Уже в XVIII в. известный французский математик Жан Лерон Д’Аламбер, автор ряда работ в области теории вероятностей, допустил неверное употребление этого понятия, когда анализировал процесс подбрасывания двух монет [67]. Число орлов, которые выпадают при этом, может равняться 0, 1 или 2. Поскольку получается три исхода, Д’Аламбер решил, что шансы каждого равны 1 из 3. Однако он ошибся.
Одним из серьезнейших недостатков работы Кардано было то, что он не предпринял систематического анализа разных способов, путем которых ряд исходов, таких как подбрасывание монет, могут произойти. Как мы увидим в следующей главе, этого анализа не сделал никто вплоть до следующего столетия. В то время как такие события, как подбрасывания двух монет, не отличаются сложностью и к ним вполне применимы методы Кардано. Ключевым моментом является понимание того, что возможные исходы подбрасывания монет – это данные, описывающие то, как монеты падают, а не общее количество орлов, вычисленное исходя из этих данных, как заключает Д’Аламбер. Другими словами, нам следует рассматривать не 0, 1 или 2 орла в качестве возможных исходов, а скорее последовательности: (орел, орел), (орел, решка), (решка, орел) и (решка, решка). Эти 4 возможных комбинации и составляют пространство элементарных событий.