Апология математики, или О математике как части духовной культуры - Успенский Владимир Андреевич. Страница 15

Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший - и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами “первая”, “вторая”, “третья” и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I (“я плохой”), II (“я хороший, потому что осознал, что плохой”), III (“я плохой, потому что себя похвалил”) и так далее. С лестницей же в целом (“я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу”) соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I (“я плохой, потому что себя похвалил”), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, +. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат выражения “омега”, “омега плюс один”, “омега плюс два”, “омега плюс три” и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить “омеговый”, “омега плюс первый” и так далее; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора - на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, ¹/₂, ²/₃, ³/₄, ⁴/₅ и так далее и всех чисел 1, 1¹/₂, 1²/₃, 1³/₄, 1⁴/₅ и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент ¹/₂ получит номер II, элемент ²/₃ получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 1¹/₂ получит номер + I, элемент 1²/₃ получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер +, и элемент 3 получит номер ++ I.

Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике

То, что общественное сознание отчасти мифологично, давно перестало быть новостью. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не “понятно массам”, а “понято массами”, а Пушкин (в письме к жене) писал не “с умом”, а “с душою”. Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, этом заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна: ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф - формула Обещаю говорить правду, только правду и ничего, кроме правды, якобы применяемая в американском судопроизводстве (формула довольно странная, поскольку смысл оборотов “только правду” и “ничего, кроме правды” один и тот же). На самом деле в Америке говорят по-другому: “Обещаю говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог” (Promise to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God).

Математика может чувствовать себя польщённой тем, что к числу деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, принадлежат и некоторые математические сюжеты. Например, большинство убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяется через другие понятия, а каждое утверждение доказывается, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: “Портной учился у другого, другой у третьего, да первой портной у кого же учился?” Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: “Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, - при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников”. Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, - при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть какое угодно количество сторон, в правильном же многограннике количеством граней может служить лишь одно из следующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра), шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (у октаэдра), двенадцать (у додекаэдра) или двадцать (у икосаэдра) - так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное явление связано с отражением в мифологическом сознании учения о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали и об аксиоме о параллельных прямых - ведь её проходят в школе. Никто из так называемых “людей с улицы”, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство из опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных входит в массовое сознание.

Получив указанный выше ответ на вопрос о содержании аксиомы о параллельных, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула “и лежат в одной плоскости” не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают, что тут что-то не так: ведь никакая аксиома не может заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт это сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее аксиому о непересекаемости непересекающихся прямых вполне возможной. С представителями этого меньшинства договориться трудно - разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. А возможна ли такая аксиома: “Всякий зелёный предмет является зелёным”? - спрашивал я. Конечно возможна, отвечали мне представители меньшинства; вот если сказать “Всякий зелёный предмет является красным”, то такая аксиома невозможна.)

Замечательно, что присутствие в общественном сознании ложной формулировки аксиомы о параллельных (“параллельные прямые не пересекаются”) имеет интернациональный характер. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор этих строк убедился следующим образом. В марте 2006 года на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных - наблюдениях, полученных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст Колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: “В том, что параллельные прямые не пересекаются”. Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.