Сколько будет 2+2? - Елизаров Евгений Дмитриевич. Страница 7

О чем говорит отсутствие этих шкал? О том, что количественные операции вообще не могут выполняться там, где качественные отличия переходят какой-то критический рубеж?

Здесь есть некая тонкость, которая требует своего осознания. Или мы соглашаемся с тем, что операции количественного сопоставления могут совершаться над любыми вещами вообще, или признаем, что они правомерны только для сравнительно небольшой части общего круга объектов, процессов, явлений, которые в своей сумме и составляют всю окружающую нас действительность. Последнее обстоятельство означает, что сфера количественного анализа должна быть ограничена, что за пределами этого круга не вправе применяться решительно никакие количественные определения.

Но жизнь показывает, что область применимости количественного анализа постоянно и неуклонно расширяется. Вспомним. Вплоть до начала XVII века математика – это преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; она оперирует лишь постоянными величинами. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее – алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью их применения являются счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В новое время потребности естествознания и техники (развитие мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) порождают идеи движения и изменения. Эти идеи реализуются в математике прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Появляется аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление. В XVIII веке возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В XIX-XX веках математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию неевклидовых пространств. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и другие. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в XIX-XX веках численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь – вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач приводит к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники влекут за собой появление целого ряда новых математических дисциплин, как, например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

Думается, можно быть вполне уверенным в том, что и в будущем экспансия математических методов продолжится, поэтому вполне разумно предположить, что, наверное, не существует вообще никаких пределов для количественного анализа. Но если это и в самом деле так, то абсолютно правомерно ставить вопрос о количественном соотношении между собой любых начал, любых объектов, процессов, явлений. Словом, об измерении, сравнении и т.п. всего того, о чем вообще только можно помыслить. В логическом пределе допустимо складывать друг с другом самые «экзотические» вещи. Допустимо утверждать, что своя количественная шкала должна найтись для любого класса явлений. Поэтому то, что сегодня мы можем выполнить эту операцию далеко не со всеми из них, говорит лишь о том, что совокупность тех общих представлений о мире, которые лежат в основании любого счета, далеко не завершена.

Иначе говоря, уже при анализе, казалось бы, предельно простой, доступной даже ребенку интеллектуальной задачи мы обнаруживаем совершенно неожиданную парадоксальную вещь. Суть ее заключается в следующем. Мечта любого начинающего исследователя – совершить великое научное открытие. Но поначалу едва ли не самой трудной научной проблемой для него оказывается обнаружить хотя бы какую-нибудь проблему, найти то, что еще в принципе не решено наукой. На первых порах кажется, что ею давно уже выявлено все, что только можно, и новое знание возможно получить только там, где оказывается доступным проникновение за какой-нибудь «…надцатый» знак после запятой достоверно установленного результата. Естествоиспытателю, только привыкающему к общению с развитым инструментарием научного исследования, кажется, что современные средства познания уже сегодня позволяют докапываться до самых интимных секретов природы. Дальнейшее же углубление всех наших знаний прямо зависит только от повышения мощности этих средств. Но вот мы видим, что в действительности залог достоверности теоретического знания кроется не только в строгих правилах и не только в разрешающей способности наших инструментов, но и в не имеющей вообще никаких четких контуров системе наиболее общих представлений о мире. Больше того: не столько в инструментарии, сколько в этих абстракциях. Между тем общие представления об окружающей нас действительности – это уже совсем не конкретная научная дисциплина. Упорядоченный их свод в конечном счете образует собой состав философии, здесь именно ее царство. Поэтому подлинным залогом истины на поверку оказывается не что иное, как абстрактное философское построение. Прежде всего абстрактное философское построение, и только потом – все то остальное, что так поражает входящего в науку исследователя. Иными словами, вовсе не то, что мы привыкли относить к конкретному точному знанию, но нечто совершенно противоположное, неуловимое. Но одновременно мы замечаем и то, что система общих представлений далеко не полна. Неумение сложить «бессовестное» с «красным», результаты футбольных матчей с технологией гальванических покрытий, преобразования Лоренца-Фицжеральда с трансцендентальным единством апперцепции, показывает, что сегодняшняя гордость нашей цивилизации – наши знания в действительности весьма обрывочны и фрагментарны. На самом деле окружающий нас мир – это все еще огромная terra incognita, на которой нам удалось проторить лишь отдельные тропинки. Поэтому неспособность разглядеть фундаментальную научную проблему свидетельствует не столько о достижениях теоретических исследований, сколько о банальной зашоренности сознания.

А значит то, что еще не покрывается имеющимися в нашем распоряжении общими абстрактными понятиями, может таить в себе самые удивительные научные открытия. Но все эти открытия так никогда и не будут сделаны, если исследовательская мысль станет чуждаться внимательного анализа таких на первый взгляд очевидных и непритязательных истин, как «дваждыдваравночетыре».

Так что, затруднение со счетом, как кажется, и в самом деле свидетельствует лишь о существовании больших пробелов в наших знаниях. Вдумаемся в суть того, что именно утверждает гипотетический запрет на измерение явлений, между которыми существуют слишком большие качественные отличия. Ведь он по существу заставляет нас задуматься над количественным измерением качественной пропасти, которая пролегает здесь. В самом деле, если нельзя сопоставлять друг с другом слишком разнородные вещи, то нужен строгий критерий того, где уровень отличий еще не превышает какую-то норму, и следовательно уместны все количественные методы, а где начинается методологический «беспредел». Но этот критерий может быть выведен только из скрупулезного анализа степени отличий, которые существуют между разнородными вещами. А значит, речь все-таки идет о количественном сравнении совершенно несопоставимых начал.

Другими словами, этот запрет содержит в самом себе глубокое логическое противоречие, ибо вытекающий отсюда вывод категорически опровергает исходную посылку.

Поэтому здесь правильней было бы выдвинуть другую гипотезу, которая бы утверждала возможность одновременного существования множества различных количественных шкал для измерения разных групп явлений. В самом деле, существуют же шкалы, которые позволяют сравнить между собой температуры таких образований, как звезда и живое тело, сопоставить друг с другом размеры атома и галактик, сравнить длительность геологических периодов и периодов колебаний атомных ядер… Заметим, что глубина качественных отличий между всеми объектами, подвергающимися измерению каждой из этих шкал совершенно сопоставима с той дистанцией, которая отделяет и «красное» от «бессовестного», и результаты футбольных матчей с гальваникой, и релятивистские эффекты теории относительности с трансцендентальным единством апперцепции. Так, может быть, все дело в том, что для сложения начал мы просто не располагаем подходящей шкалой, подходящим «количеством»? Ведь было же время, когда нам были недоступны и температурные, и временные, и пространственные измерения. Так почему бы не допустить аналогии и здесь?