Квантовая магия - Доронин Сергей Иванович. Страница 70

Таким образом, дифференциальная геометрия дает исследователю надежный математический формализм, позволяющий установить взаимнооднозначное соответствие между локальным точечным описанием физических величин (импульс в данной точке в виде вектора) и нелокальным описанием (тот же импульс, но уже в объеме, окружающем эту точку в виде 1-формы). А значит, учитывая наши цели, необходимо поближе познакомиться с этим геометрическим объектом (небольшое дополнение см. в Приложении).

Нам понадобится еще одно понятие дифференциальной геометрии. Это 1-форма объема. Достаточно будет ограничиться частным случаем этого понятия для трехмерного куба в системе отсчета, относительно которой он находится в покое. Тогда 1-форма объема с 4-скоростью uи ребром Lопределяется как Σ = — V u= L ³

d t

в случае стандартной положительной ориентации uв прошлое ( u= —

d t

) или в другом варианте Σ = L ²Δ

t d x

. По своему геометрическому смыслу 1-форма объема представляет собой объем, «заметаемый» со временем либо за счет движения самого объема (первый вариант), либо за счет движения одной из его граней, например, площадки

S _yz

= L ²в направлении xсо скоростью u(второй вариант).

1-форма произвольного объема может быть

проанализирована

путем разбиения ее на введенные элементарные объемы.

Теперь мы располагаем уже всеми необходимыми понятиями, чтобы сформулировать определение [159]тензора энергии-импульса в терминах дифференциальных форм: тензором энергии-импульса называется линейный оператор с двумя входными каналами, в один из которых вводится 1-форма объема Σ, а в другой — произвольный вектор wили 1-форма σ, и в результате получается проекция 4-импульса на этот вектор или 1-форму соответственно, то есть

T(

w, Σ) = w · p, T( σ, Σ) = á σ, pñ. (5.6)

Это определение позволяет легко получить компоненты тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку проекция импульса pна 4-вектор скорости наблюдателя uдает энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, то есть W= —u · p.

Пространственные компоненты

T ^ik

из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время Δ tэта поверхность «заметает» 3-объем, 1-форма которого равна Σ = L ² _{┴ k}Δ

t d x ^k

. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей

лоренцевой

системе, мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью uпоочередно вдоль всех своих координатных осей. За время Δ tон сканирует всю площадку и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс Δ p, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.

Обозначим компоненты скорости наблюдателя через

u ⁱ

= (Δ x ⁱ/Δ t)

e _i

. Тогда компоненты

T ^ik

можно определить из (5.6):

u ⁱ

·Δ p= —Δ W= T(

u ⁱ

, Σ), (5.7)

или в компонентных обозначениях,

—Δ W= (Δ x ⁱ/Δ t) L ² _{┴ k} Δ t T(

e _i

,

d x ^k

) = Δ x ⁱL ² _{┴ k}

T ^ik

, (5.8)

. (5.9)

Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись определением градиента, получим

—Ñ

_iW

/ L ² _{┴ k} =

T ^ik

. (5.10)

Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии Ñ

_iW

уже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя Δ x ⁱвходит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой энергии идет речь — либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m ₀ c ², как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений — значение градиента энергии как объективно существующей физической характеристики при этом не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.

Сравнивая выражение (5.10) с обычной трактовкой пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах потока импульса, нетрудно заметить, что справедливо покомпонентное тождество Ñ

_iW

≡ —Δ p _i/Δ t, связывающее энергетическое и импульсное представления компонент тензора энергии-импульса.

Еще более простой физический смысл имеет дивергенция от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5.5). Устремляя

исходный

3-объем к нулю и имея при этом L ² _{┴ k} → ∂ S _{┴ k} , получим

, (5.11)

то есть

i

-компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу 3-объема, или

i

-компоненту объемной плотности градиента энергии.

Уравнения движения (5.5) теперь приобретают простой физический смысл: они связывают силу, действующую на произвольный выделенный объем, и градиент энергии в этом объеме.

Итак, основной вывод можно сформулировать следующим образом: сила, действующая со стороны произвольного выделенного объема рассматриваемой системы, равна градиенту энергии во всем этом объеме, то есть

F= Ñ W. (5.12)