Большая Советская Энциклопедия (УС) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ". Страница 40

К ст. Устойчивость движения.

Устойчивость (математич.)

Усто'йчивость решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения в механике; имеет также важное значение для приложений в технике (например, радиотехнике).

Устойчивость основания

Усто'йчивость основа'ния, способность основания сооружения сопротивляться выпиранию грунта (из-под подошвы фундамента) под действием нагрузок, передаваемых сооружением. При действии начальной критической нагрузки нарушение прочности грунта происходит лишь в отдельных точках или заданной ограниченной области основания; в случае предельной нагрузки всё основание теряет устойчивость.

Устойчивость равновесия

Усто'йчивость равнове'сия. Равновесие механической системы устойчиво, если при малом возмущении (смещении, толчке) точки системы во всё последующее время мало отклоняются от их равновесных положений; в противном случае равновесие неустойчиво. Обычно при малых возмущениях точки системы, находящейся в положении устойчивого равновесия, совершают около своих равновесных положений малые колебания, которые вследствие сопротивлений со временем затухают, и равновесие восстанавливается. Более строго У. р. определяется и исследуется так же, как и устойчивость движения . В случае механической консервативной системы достаточное условие У. р. даётся теоремой Лагранжа – Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы минимальна. См. также Устойчивость упругих систем .

Устойчивость системы автоматического управления

Усто'йчивость системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым в 1892.

  Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение – непосредственно по его коэффициентам. При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х. Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.

  Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие – неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации .

  Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем.

  Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных алгоритмов , так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.

  Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч., т. 2, М. – Л., 1956; Воронов А. А., Основы теории автоматического управления, т, 2, М. – Л., 1966; Наумов Б. Н., Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы, М., 1972; Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева, 3 изд., М., 1974.

  В. С. Пугачев, И. Н. Синицын.

Устойчивость сооружения

Усто'йчивость сооруже'ния, способность сооружения противостоять действию сил, стремящихся вывести его из состояния равновесия. Необходимость обеспечения устойчивости (наряду с прочностью) – одно из основных требований, предъявляемых к сооружениям. Следствием потери устойчивости обычно является сдвиг (скольжение) или опрокидывание сооружения. Проверка У. с. необходима в первую очередь в тех случаях, когда на сооружение действуют горизонтальные силы (гидростатическое давление на плотину, давление грунта на подпорную стенку или устой моста, сейсмические и ветровые нагрузки на высотные сооружения и т.п.). При проверке У. с. на опрокидывание сопоставляются значения опрокидывающего и удерживающего моментов относительно внешнего ребра фундамента. Проверка У. с. на сдвиг требует сопоставления сдвигающих (обычно горизонтальных) сил, действующих на сооружение, с удерживающими (реактивными) силами, например силами трения или сцепления. См. также Устойчивость основания , Устойчивость упругих систем .

Устойчивость термодинамическая

Усто'йчивость термодинами'ческая, устойчивость равновесия термодинамического системы относительно малых вариаций её термодинамических параметров (объёма, давления, температуры и др.). В общем случае состояние равновесия характеризуется минимальным значением потенциала термодинамического , соответствующего независимым в условиях опыта переменным. Например, при независимых переменных энтропии, объёме и числе молей компонентов для термодинамического равновесия системы необходимо, чтобы была минимальна её внутренняя энергия U. Из этого требования вытекает, во-первых, что должна быть равна нулю первая вариация dU при малых вариациях переменных и постоянстве полной энтропии, объёма и числа частиц. Отсюда как условие равновесия следует постоянство температуры и давления для всех фаз, а также равенство значений химического потенциала для каждого из компонентов в сосуществующих фазах. Выполнение этих условий ещё не гарантирует У. т. системы. Из требования минимума U вытекает ещё одно условие – положительное значение второй вариации d²U. Оно приводит к ряду термодинамических неравенств, которые являются условиями термодинамической устойчивости. Например, одно из них состоит в положительном значении теплоёмкости системы при постоянном объёме, а другое – в убывании давления с ростом объёма при постоянной температуре.