Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ". Страница 4

Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Р.

(7)

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.

(8)

сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ u_n £ c u_n, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) — расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/n^a. Таким методом сразу получается, что Р. с n-м членом

где

сходится, поскольку сходится Р.

Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если

то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Р. сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Р. расходится. Так, например, Р. с n-м членом u_n = sin (1/n ²) сходится, ибо

(a = 2)

a Р. с u_n = tg (p/n) расходится, здесь

(a = 1)

Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует

(u_n > 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует

(u_n ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 P. расходится. При I = 1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.

Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.

Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.

абсолютно сходится, а Р.

сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть

(9)

— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений u_mu_n членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s₁ и s₂, то s = s₁s₂, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.

Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.

Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:

то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если

то знакочередующийся Р.

(10)

сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде

. (11)

Признак Абеля: если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а Р.

сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {a_n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.

ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.

сходится при всех действительных a.

Иногда рассматриваются Р. вида

Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.

сумма этих Р. называется суммой исходного Р.

Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида

где

— заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами, n₁, n₂,..., n_k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа — двойные ряды.

Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)

r_n = qⁿ⁺¹/(1 - q), ½q½< 1,

для P. (7) при сделанных предположениях

а для P. (10)

½r_n½ £ u_n+1

С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к ¹/₂.