Загадки и диковинки в мире чисел - Перельман Яков Исидорович. Страница 14
Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны. Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующее отделение арифметической кунсткамеры, где показываются фокусы и выставлены числовые исполины; я хочу сказать, – они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями из мира чисел, тех приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.
Магические кольца
Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны 6 цифр в одном и том же порядке, иначе говоря – написано одно и то же число: 142857
Магические кольца
В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы имеем при сложении двух наружных колец:
т. е. опять-таки тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись в начало.
При другом расположении колец относительно друг друга мы имеем, например:
Исключение составляет лишь единственный случай, когда в результате получается 999999 (складываемые цифры дополняют друг друга до девяти):
Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах. Например:
Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры – тогда, разумеется, разность равна нулю. Но и это еще не все замечательные свойства нашего числа 142857. Умножьте его на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите, как и раньше, снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:
142857 ? 2 = 285714
142857 ? 3 = 428571
142857 ? 4 = 571428
142857 ? 5 = 714285142857 ? 6 = 857142
Вы видите, что произведение отличается от умножаемого лишь порядком цифр: группа цифр, стоящих впереди, очутилась на конце.
Пора, однако, объяснить, чем же обусловлены все загадочные особенности этого числа. Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше – не что иное, как седьмая часть 999999, т. е. дробь 142857/999999 = 1/7. И действительно, если вы станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:
Наше загадочное число есть, следовательно, период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7 Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 – один из тех остатков, которые у нас получались уже при превращении 1/7: ясно, что должен поэтому повториться прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; другими словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое должно произойти и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т. е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую единицу, – т. е. 0,9999… если представить ее в виде бесконечной периодической дроби.
Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Мы переставляем группу цифр спереди на конец, т. е., согласно только что сказанному, мы умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7,3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, – т. е. опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают 1 или больше 1.Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными ранее, но все же весьма сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, какой результат должен получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, т. е. на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8, мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (т. е. к 999999) прибавить наше число
142857 ? 8 = 142857 ? 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).
Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число, большее 7, – как легко усмотреть из следующих строк:
142807 ? 8 = (142857 x 7) +142857 =1000000-1 + 142857=1142856
142857 ? 9 = (142857 ? 7) + (142857 ? 2) = 1000000—1+ 285714= 1285713
142857 ? 10 = (142857 ? 7) + (142857 ? 3) = 1000000-1 +428571 = 1428570
142857 ? 16 = (142857 ? 7 ? 2)+ (142857 ? 2) =2000000-2 + 285714 = 2285713142857 ? 39 = (142857 ? 7 ? 5) + (142857 ? 4)=5000000– 5 + 571428 = 5571427
Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [24] . Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения
12571428– 12= 12571416.
От умножения 142857 ? 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):
52142857-52 = 52142803.
Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно – нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносно быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или – что то же самое – от 1/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из девяти:
Мы уже имели дело с такими числами – именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:
142857 = 143 ? 999.
Но 143= 13 ? 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 ? 11 ? 13, мы будем в состоянии предсказать, не выполняя действия, что должно получиться от умножения 142857 ? 7:
142857 ? 7 = 143 ? 999 ? 7 = 999 ? 11 ? 13 ? 7 = 999 ? 1001 = 999999