Загадки и диковинки в мире чисел - Перельман Яков Исидорович. Страница 13
Число 10101
После сказанного о числе 1001
Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001? Конечно, и здесь даже возможно обставить фокус эффектнее, разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:
10101 = 3 ? 7 ? 13 ? 37.
Предложив первому гостю задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьего приписать то же число еще раз. Четвертого гостя вы просите разделить получившиеся шестизначное число, например, на 7; пятый гость должен разделить полученное частное на 3; шестой гость делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, – причем все 4 деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому гостю: это – задуманное им число.
При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо множителей 3 ? 7 ? 13 ? 37 можете взять следующие группы множителей: 21 ? 13 ? 37; 7 ? 39 ? 37; 3 ? 91 ? 37; 7 ? 13 ? 111.Число это – 10101 – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее известно своими поразительными свойствами, нежели 1001. А между тем о нем писалось еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в той главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». Тем с большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.
Шесть единиц
В соседней витрине мы видим другую диковинку арифметической консткамеры, число
111111 = 111 ? 1001.
Но 111 = 3 ? 37, а 1001 = 7 ? 11 ? 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:
З ? (7 ? 11 ? 13 ? 37) = З ? 37037 = 111111
7 ? (3 ? 11 ? 13 ? 37) = 7 ? 15873 = 111111
11 ? (3 X 7 X 13 ? 37)= 11 X 10101=111111
13 ? (3 ? 7 ? 11 ? 37) = 13 ? 8547 = 111111
37 ? (3 ? 7 ? 11 ? 13) = 37 ? 3003 = 111111
(3 ? 7) ? (11 ? 13 ? 37) = 21 ? 5291 = 111111
(3 ? 11) ? (7 ? 13 ? 37) = 33 ? 3367 = 111111и т. д.
Это значит, что вы можете засадить общество из 15 человек за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111. То же число, наконец, пригодно и для отгадывания задуманных чисел – наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса.
Числовые пирамиды
В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.
Как объяснить эти своеобразные результаты умножения, эту странную закономерность?
Возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды 123456 ? 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:
Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.
Мы можем также понять это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345… но вдесятеро меньшее и предварительно уменьшенное на последнюю цифру. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (умножить на 10 и отнять множимое значит умножить на 9). Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды,
получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр. Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением.
Необходимость получения таких странных результатов уясняется из следующей строки [22] :
то есть 12345 ? 8 + 5 = 111111 – 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр 98765.
Обоснованность третьей числовой пирамиды, воспроизведенной здесь, есть прямое следствие существования
первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что например:
12345 ? 9 + 6 = 111111.
Умножив обе части на 8, имеем:
(12345 ? 8 ? 9) + (6 ? 8) = 888888.
Но из второй пирамиды мы знаем, что
12345 ? 8 + 5 = 98765, или что 12345 ? 8 = 98760.
Значит:
888888 = (12345 ? 8 ? 9) + (6 ? 8) = (98760 ? 9) + 48 = (98760 ? 9) + (5 ? 9) + 3 = (98760 + 5) ? 9 + 3 = 98765 ? 9 + 3.
Вы убеждаетесь, что оригинальные числовые пирамиды не так уже загадочны, как кажутся с первого взгляда. Законы их образования нетрудно уяснить себе, вглядевшись в них повнимательнее. Это не помешало одной немецкой газете несколько лет назад поместить их на своих столбцах с припиской: «Причина такой поразительной закономерности никем еще до сих пор не была объяснена». Вы видите, что здесь и объяснять-то почти нечего.
Девять одинаковых цифр
Последняя строка первой из сейчас (стр. 86) рассмотренных пирамид:
12345678 ? 9 + 9= 111111111
объясняет происхождение целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:
Примем во внимание, что
12345678 ? 9 + 9 = (12345678 + 1) ? 9 = 12345679 ? 9.
Поэтому
12345679 ? 9 = 111111111.
А отсюда прямо следует, что
12345679 ? 9 ? 2 = 222222222
12345679 ? 9 ? 3 = 33333333312345679 ? 9 ? 4 = 444444444 и т. д.
Цифровая лестница
Что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно? Если вы обладаете способностью отчетливо рисовать в своем воображении ряды цифр, то вам удастся найти интересующий нас результат, не прибегая к умножению на бумаге. Ведь, в сущности, здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышляющего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц [23] . Приняв во внимание ступенчатое расположение этих девяти рядов единиц, мы легко можем найти – даже и не выписывая воспроизводимой здесь таблицы, – результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения): 12345678987654321.