»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен. Страница 24
МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ З СИСТЕМАМИ ЧИСЛЕННЯ,
ВІДМІННИМИ ВІД ДЕСЯТКОВОЇ
С.І. Дятлова
м. Миколаїв, Миколаївський державний педагогічний університет
Програма розвиваючого навчання (система Д.Б. Ельконіна–В.В. Давидова), яка має широке використання в школах України, передбачає з першого класу одночасне знайомство учнів з усіма системами числення: десятковою, трійковою, шістковою і т.д. І тільки у кінці першого класу окремо “відшліфовуються” обчислювальні навички у десятковій системі. Методичні прийоми ознайомлення дітей з числами, з позиційними системами числення відбуваються на основі поняття натурального числа, як результату вимірювання величини (див. підручники математики авторів Олександрової Е.І. або авторів Захарової А.М., Фещенко Т.І.).
Розглянемо методичні прийоми, які, на наш погляд, є корисними і для використання в традиційному навчанні або на уроках, чи в позакласній роботі з математики (гуртки, факультативи).
В традиційному навчанні нумерація чисел в десятковій системі числення вивчається паралельно з величинами.
Наприклад, при вивченні нумерації трицифрових чисел учні розкладають багатоцифрові числа на розрядні доданки: 263=200+60+3; 263=2?10?10+6?10+3; 263=2 сотні + 6 десятків + 3 одиниці.
Аналогічно і величина, наприклад, довжина, уявляється у виді суми трьох мірок: 263 см=2 м 6 дм 3 см.
Паралелізм у вивченні нумерації і величин пояснюється особливостями десяткової системи числення: кожні десять одиниць одного розряду утворюють одну одиницю наступного вищого розряду (10 од. складають 1 дес., 10 дес. складають 1 сотню, 10 сотень складають 1 тисячу), і навпаки.
Можна запропонувати дітям систему мірок для побудови величини, щоб при її вимірюванні отримували трицифрове число.
(Кількість цифр в числі зображено крапками, а співвідношення між двома сусідніми розрядами – стрілками і числом 10). У нас кожна наступна мірка повинна бути більшою за попередню у десять разів (тобто таке відношення між сусідніми мірками).
Наприклад, для числа 263, якщо взяти систему мірок клітину, смугу і квадрат (див. мал. 1), то все число 263 буде у вигляді площини наступної фігури (див. мал. 2) (2 квадрата, 6 смуг, 3 клітини), причому 10 е 1= е 2; 10 е 2= е 3; або е 2=; е 1=.
е 1
е 2
е 3
Мал. 1.
е 3
е 2
е 1
Мал. 2.
Можна за систему мірок брати смуги чи кружечки, але всюди співвідношення між сусідніми мірками повинно дорівнювати десяти. Якщо брати другу позиційну систему, наприклад, четвіркову, то співвідношення між сусідніми розрядами дорівнюватиме чотирьом (основі системи): кожні чотири одиниці одного розряду складають одну одиницю наступного високого розряду, і навпаки.
Наприклад, 123 4=1?4?4+2?4+3;
Якщо взяти за систему мірок клітку, смугу та квадрат (відповідно е 1, е 2, е 3), то зображення величини буде таким: е 2=4 е 1; е 3=4 е 2; або е 1=; е 2=.
е 3
е 2
е 1
Мал. 3.
Смуга у чотири рази більша від клітки, квадрат у чотири рази більший від смуги. Або навпаки: клітка у чотири рази менша смуги, смуга у чотири рази менша квадрата.
При системі мірок – відрізків
число 123 4буде зображено так:
Мал. 4.
Співвідношення між мірками е 1, е 2, е 3залишається тим самим.
При системі мірок у вигляді кружечків (мал. 5) зображення числа 123 4буде таким (мал. 6):
Мал. 5.
Мал. 6.
У десятковій системі для запису чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, тобто цифра, що відповідає найбільшому одноцифровому числу, (9) на одиницю менша основи системи.
Аналогічна закономірність виконується і в будь-якій іншій позиційній системі числення: в двійковій системі числення використовуються дві цифри: 0 та 1; в трійковій – 3 (0, 1, 2); в четвірковій – 4 (0, 1, 2, 3); в п’ятірковій – 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5) і т.д.
У цілому основа системи вказує, скільки одиниць одного розряду складає одну одиницю наступного вищого розряду. Далі можна запропонувати учням знайти помилки у записі чисел, виправити їх. Наприклад: а) 247 7; б) 47 4; в) 49 8.
Міркування учнів: а) цифри 7 не може бути у сімковій системі числення, тому що 7 одиниць складають одну одиницю другого розряду, та у другому розряді було чотири одиниці, тобто стало 5 одиниць другого розряду, отже буде число 250 7.
б) цифри 4 немає в четвірковій системі числення, чотири одиниці другого розряду складають одну одиницю третього розряду, отже, буде число 102 4.
в) 9 одиниць запишемо у вигляді суми розрядних доданків у вісімковій системі числення 9 = 8+1, а 8 одиниць замінюємо одним десятком та отримуємо 9 = 10 +1 = 11 8, одну одиницю пишемо у розряд одиниць, а 1 десяток переносимо у другий розряд, отже у другому розряді стало 5 одиниць, тобто стало число 51 8.
Цікавими нам уявляються наступні завдання для учнів:
1. Назвіть “сусідів” числа 39 10; 50 10; 34 5; 44 5; 100 6; 56 7; 66 7; 45 6; 55 6; 100 5; 40 5.
Міркування учнів: 39 10; сусіди цього числа 38 10та 40 10, оскільки щоб назвати попереднє число, потрібно відняти одиницю, отримуємо 38 10, а щоб назвати наступне число, потрібно додати одиницю до 39 10, використавши основну властивість десяткової системи числення: 10 одиниць складають одну одиницю наступного розряду (до 39 додати одиницю), починаємо додавати одну одиницю до дев’яти одиниць, отримуємо 10 одиниць, тобто 1 десяток (одна одиниця наступного, другого розряду), та ще три одиниці другого розряду, всього отримуємо чотири одиниці другого розряду, тобто число 40.
50 10; сусіди цього числа 51 10та 49 10, оскільки щоб отримати наступне, додаємо одиницю, а щоб отримати попереднє, тобто відняти одиницю, потрібно “взяти” одну одиницю у другого розряду та роздробити її на 10 одиниць (десяткова система числення), у другому розряді залишається чотири одиниці, а у першому із 10 одиниць відняти одну одиницю, залишається 9 одиниць, тобто число 49 10.
Використовуючи той самий алгоритм, але враховуючи основну властивість будь-якої системи числення (основа системи показує, скільки одиниць одного розряду складає один десяток, тобто одну одиницю наступного розряду), знаходимо “сусідів” чисел: 34 5(попереднє 33 5, наступне 40 5), оскільки п’ять одиниць одного розряду складають одну одиницю наступного розряду.
44 5(попереднє 43 5, наступне 100 5), тут двічі здійснюється перехід через розряд.
100 6(попереднє число знаходимо так: із 100 6відняти одиницю, беремо одну одиницю третього розряду, перетворюємо її в 6 одиниць (основа системи це показує) другого розряду, із них беремо одну одиницю (в другому розряді залишилось 5 одиниць), роздрібнюємо її на 6 одиниць першого розряду та віднімаємо одиницю, залишається у першому розряді теж 5 одиниць, отримуємо число 55 6. Отже, для 100 6попереднім є 55 6, а наступним 101 6.