Пятьсот двадцать головоломок - Дьюдени Генри Эрнест. Страница 57
333. Несмотря на предупреждение, читатель мог предположить, что решением головоломки служит жирная зигзагообразная линия на нашем рисунке. Однако это не так, поскольку получившиеся части не совпадают по форме и размерам. Разрез следовало бы вести не по участку C, а по пунктирной линии D, но там отсутствует шов. На самом деле следует вырезать часть, которая заштрихована. Лоскут в левом верхнем углу показан для ориентации на исходном рисунке.
334. На рисунке показано, как следует разрезать линолеум на две части Aи B, чтобы составить из них квадратную доску.
335. На рисунке слева показано, как можно покрыть квадрат 29 квадратными плитками, сохранив при этом 17 из них в целости и разрезав остальные 12 надвое. Части одной плитки обозначены одинаковыми цифрами.
336. По-видимому, существует лишь одно решение этой головоломки, которое представлено на рисунке справа. Наименьшее число частей равно 11; они должны иметь указанные размеры. Три наибольшие части не могут располагаться иначе, а группу из восьми квадратов можно «отразить».
[По поводу общей задачи, так и не решенной до сих пор, о делении квадратного куска решетки любого размера вдоль ее линий на минимальное число меньших квадратов, см. гл. 15 книги М. Гарднера «Математические новеллы» (М., изд-во «Мир», 1974).
Насколько мне известно, соответствующая задача для треугольной решетки еще не рассматривалась. — М. Г.]
337. На рисунке показано, как разрезать квадрат на 4 части одинакового размера и одной формы так, чтобы в каждой из частей содержалось по звездочке и по крестику,
338. Если вырезать греческий крест меньших размеров (см. случай 1), то из четырех частей A, B, Cи Dможно сложить квадрат, показанный в случае 2.
339. Отрежьте верхнюю и нижнюю части креста и поместите их в положения Aи B(случай I), а оставшуюся большую часть разрежьте на 3 части так, чтобы из полученных 5 частей сложить прямоугольник, изображенный в случае II. Можно сказать, что этот прямоугольник составлен из 15 квадратов — по 5 квадратов на каждый новый крест. Остальные разрезы провести нетрудно. Из частей 2, 5, 8, 9с очевидностью получается один крест; из частей 13, 6, 10, 7и 11 — второй (случай III), а из 1, 3, 4, 12получается третий крест (случай IV). Площадь каждого конца малого креста составляет ⅓ площади любого конца большого креста.
(Число частей можно понизить до 12. — М. Г.]
340. Как следует разрезать данную фигуру на 4 части, чтобы из них получился квадрат, показано на рисунке.
341. В случае Aизображен круг, разделенный на 4 части, образующие «великую Монаду», а в случае Bпоказано, как из двух таких частей можно составить один табурет (второй табурет получается аналогично из частей 3и 4). Правда, отверстия для руки располагаются поперек, а не вдоль овалов, тем не менее все условия задачи выполнены.
342. Разрежьте один из треугольников пополам и сложите части вместе, как показано в случае 1. Затем проведите разрез вдоль пунктирных линий так, чтобы и ab, и cdравнялись стороне искомого квадрата. Затем сложите полученные части вместе, как показано в случае 2, сдвинув Fи Cвлево вверх и переместив маленький кусочек Dиз одного угла в другой.
[Существует решение данной задачи, содержащее только 5 частей. — М. Г.]
343. На рисунке показано, как можно разрезать символ масти пик на три части, чтобы получить символ червовой масти.
344. Вы видите на рисунке, как следует расположить 4 части, чтобы одна клетка исчезла (на первый взгляд). Объяснение этого феномена состоит в том, что края частей, расположенные вдоль жирной линии, не совпадают по направлению. Если вы расположите внешние края данной фигуры точно под прямым углом, то некоторые части перекроются и площадь перекрытой поверхности окажется равной площади одной клетки. Вот в чем и состоит простое объяснение нашего парадокса.
345. Прежде всего проведите разрез AB. Затем сложите полученные три части вместе так, чтобы при следующем взмахе ножниц вы могли провести одновременно разрезы CD, EFи GH(см. рисунок справа).
346. Восемь кусков фанеры можно расположить симметрично, чтобы они образовали квадрат таким образом, как показано на рисунке.
347. Сложите два квадрата вместе таким образом, чтобы линии ABи CDбыли прямыми. Затем найдите центр большего квадрата и проведите через него прямую EF, параллельную AD. Если вы теперь проведете через тот же центр перпендикулярно EFпрямую GH, то больший квадрат разобьется на 4 части, из которых вместе с меньшим квадратом можно будет составить новый квадрат.
[Это решение было впервые найдено английским математиком-любителем Генри Перигейлом, который опубликовал его в 1873 г. Оно представляет собой одно из лучших доказательств теоремы Пифагора с помощью разрезания. См. гл. 38 книги М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения» (М., изд-во «Мир», 1971). — М. Г.].
348. На рисунке показано, как можно разрезать фанеру. Квадраты Aи Bвырезаются целиком (1), а из четырех частей C, D, Eи Fможно составить третий квадрат (2).
[Существуют решения данной задачи, в которых участвует только пять частей. Не сможет ли читатель отыскать решение из пяти частей, при котором общая длина разрезов составляет 16 единиц? — М. Г.]
349. Вырежьте кусок Aи, повернув его на четверть оборота по часовой стрелке, соедините с куском B. При этом получится правильная шахматная доска.
350. На рисунке показано, как составить квадрат из 20 кусочков.
351. Если ковер разрезать на две части, как показано в случае 1, и сшить куски вместе таким образом, как изображено в случае 2, то получится квадрат. Ширина ступеньки равна 2, а высота 1 м.
352. Согнув листок по серединам противоположных сторон, получим прямые AOBи COD. Произведем также сгибы EHи FG, делящие AOи OBпополам. Перевернем AKтак, чтобы Kпопала на прямую EHв точке E, а затем произведем сгибы через AEи EOG. Аналогично найдем точку Hи согнем бумагу вдоль AHи HOF. Произведя сгибы BF, BG, EFи HG, получим искомый правильный шестиугольник EFBGHAE.
353. Сложив ABвдвое, найдите середину E. Согните бумагу вдоль EC. Совместите EBс ECи согните так, чтобы получить EFи FG. Сделайте так, чтобы отрезок CHстал равным отрезку CG. Найдите K — середину отрезка BHи отложите отрезок CL, равный BK. Отрезок KL — сторона правильного пятиугольника. Затем отложите (см. правую часть рисунка) отрезки KMи LN, равные KL, так, чтобы Mи Nсоответственно лежали на BAи CD. Согнув бумагу вдоль PQ, отложите MOи NO, равные KMи LN. Многоугольник KMONLи есть искомый пятиугольник.