Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон. Страница 36

Если вообразить прямоугольный треугольник, одна сторона которого представляет время и увеличивается вместе с ним, другая сторона могла бы представлять скорость. Элемент поверхности этого треугольника, равный произведению элемента времени на скорость, будет представлять элемент расстояния, пройденного под действием силы тяжести. Это расстояние будет представлено всей площадью треугольника, которая, увеличиваясь как квадрат одной из его сторон, показывает, что в движении, ускоренном силой тяжести, скорости возрастают как время, и высоты, с которых тела падают из положения покоя, увеличиваются как квадраты времени или скорости. Поэтому если за единицу принять расстояние, на которое тело упадёт за первую секунду, оно опустится на четыре единицы за 2 с, на девять единиц через 3 с и т.д. Таким образом, за каждую секунду тело пролетит расстояние, возрастающее как нечётные числа 1,3,5, 7... и т.д.

Расстояние, которое тело прошло бы при постоянной скорости, приобретённой им к концу падения, за время, затраченное на это падение, будет равно произведению этого времени на скорость. Это произведение равно удвоенной поверхности треугольника. Итак, тело, двигающееся равномерно под влиянием приобретённой им скорости, за время, равное времени его падения, описала бы расстояние, вдвое большее, чем то, которое оно прошло при падении.

Отношение приобретённой скорости к времени постоянно для данной ускоряющей силы. Оно увеличивается или уменьшается в зависимости от величины этой силы и, следовательно, может служить для её выражения. Так как удвоенное пройденное расстояние равно произведению времени на скорость, ускоряющая сила равна этому удвоенному расстоянию, разделённому на квадрат времени. Она также равна квадрату скорости, разделённому на удвоенный путь. Эти три способа выражения ускоряющей силы полезны при разных обстоятельствах. Они не дают абсолютных значений этих сил, а выражают лишь их взаимные отношения, что только и нужно для механики.

На наклонной плоскости действие силы тяжести разлагается на две составляющие: одна, перпендикулярная плоскости, уничтожается её сопротивлением, другая, параллельная плоскости, относится к исходному значению силы тяжести как превышение одного конца плоскости над другим к её длине. Следовательно, на наклонных плоскостях движение будет равномерно ускоренным, но скорости и пройденные расстояния будут находиться к скоростям и расстояниям, пройденным за то же время по вертикали, в том же отношении. Отсюда следует, что все хорды вертикальной окружности, сходящиеся к одному из концов её вертикального диаметра, под влиянием силы тяжести описываются за то же время, что и этот диаметр.

Тело, брошенное в направлении любой прямой, непрерывно от неё отклоняется, описывая вогнутую к горизонту кривую, к которой эта прямая является первой касательной. Движение тела, перенесённое на эту касательную вертикальными линиями, равномерно, по оно ускоряется по вертикали в соответствии с приведённым нами законом. Таким образом, вертикали, построенные в каждой точке кривой и продолженные до пересечения с первой касательной, будут пропорциональны квадратам соответствующих отрезков этой касательной, что свойственно параболе. Если сила метания направлена вверх по вертикали, парабола совпадает с ней. Поэтому формулы параболического движения охватывают и ускоренные или замедленные движения по вертикали.

Таковы законы падения тяжёлых тел, открытые Галилеем. Сегодня нам кажется, что их легко было открыть. Но поскольку они ускользнули от исследований философов, несмотря на явления, воспроизводившие их непрерывно, оказался необходимым редкий гений, чтобы распознать их в этих явлениях.

В первой книге мы уже видели, что материальная точка, подвешенная на одном конце невесомой прямой, противоположный конец которой закреплён неподвижно, образует простой маятник. Если этот маятник отклонить от вертикали, он стремится возвратиться к ней, и это стремление почти пропорционально отклонению, если отклонение незначительно. Представим себе два маятника одинаковой длины, одновременно отклоняющихся с очень малыми скоростями от вертикального положения. В первый момент они опишут дуги, пропорциональные этим скоростям. В начале второго момента, равного первому, скорости будут замедлены пропорционально описанным дугам и, следовательно, начальным скоростям. Значит, дуги, описанные за второй момент, также пропорциональны этим скоростям. То же произойдёт в третий момент, в четвёртый и т.д. Таким образом, в каждый момент скорости и дуги, отсчитанные от вертикального положения, будут пропорциональны исходным скоростям, и маятники одновременно придут к состоянию покоя. Затем они вернутся к вертикали ускоренным движением по тем же законам, по которым их скорость замедлялась, и одновременно достигнут её с исходной скоростью. После этого они таким же образом качнутся по другую сторону от вертикали, и, не испытывая сопротивления, качались бы так бесконечно долго. Ясно, что размах их колебаний пропорционален начальной скорости, но время колебаний одно и то же и, следовательно, не зависит от размаха колебаний. Так как сила, ускоряющая или замедляющая маятник, не вполне точно соответствует дуге отклонения от вертикали, при малых колебаниях тяжёлого тела, движущегося по дуге круга, эта изохронность является лишь приблизительной. Изохронность соблюдается в точности при движении маятника по кривой, на которой сила тяжести, разложенная параллельно касательной, пропорциональна дуге, отсчитанной от самой нижней точки, что немедленно даёт её дифференциальное уравнение. Гюйгенс, которому мы обязаны приложением маятника к часам, старался найти эту кривую и способ заставить маятник её описывать. Он нашёл, что это — циклоида, расположенная вертикально так, что её вершина является самой низкой точкой. Чтобы заставить тело, подвешенное на конце нерастяжимой нити, описывать эту циклоиду, достаточно другой конец этой нити укрепить в общем начале двух других таких же циклоид, расположенных тоже вертикально, но в противоположном направлении, причём пить во время качания должна охватывать поочерёдно каждую из этих кривых. Как бы ни были остроумны эти исследования, опыт заставил предпочесть круговой маятник, как более простой и достаточно точный, даже для астрономии.²⁵ Но теория развёрток, или эволют, порождённая ими, оказалась очень важной по своим применениям к системе мира.

Период очень малых колебаний кругового маятника относится к времени, за которое тяжёлое тело падает с высоты, равной двойной длине этого маятника, как полуокружность относится к диаметру. Таким образом, время падения вдоль малой дуги, ограниченной вертикальным диаметром, относится к времени падения вдоль этого диаметра, или, что то же самое, к хорде этой дуги, как четверть окружности относится к диаметру. Следовательно, прямая, проведённая между двумя заданными точками, не является линией самого быстрого спуска от одной из них к другой. Поиски такой линии заинтересовали геометров, и они нашли, что это циклоида, начало которой расположено в самой высокой точке.

Длина простого маятника, отбивающего секунды, относится к удвоенной высоте, с которой падают тела под действием силы тяжести в первую секунду их падения, как квадрат диаметра относится к квадрату окружности. Так как эту длину можно измерить с большой точностью, посредством этой теоремы можно получить время падения тел с определённой высоты значительно точнее, чем путём прямых опытов.²⁶ В первой книге указывалось, что очень точные опыты дали длину секундного маятника ²⁷ в Париже, равную 0.741877 м. Отсюда следует, что сила тяжести заставляет тело за первую секунду падать на 3.66107 м. Этот переход от колебательного движения, период которого можно с большой точностью определять, к прямолинейному движению тяжёлых тел является остроумнейшим наблюдением, которым мы обязаны Гюйгенсу.

Продолжительности очень малых колебаний маятников разной длины, движимых одной и той же силой тяжести, относятся как корни квадратные из их длины. Если же маятники одинаковой длины, а силы тяжести различны, продолжительности колебаний обратны квадратным корням из сил тяжести.