Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон. Страница 37
На основании этих теорем было определено изменение силы тяжести на поверхности Земли и на вершинах гор. Наблюдения маятников позволили также узнать, что сила тяжести не зависит ни от поверхности, ни от формы тел, но что она проникает в самые глубокие их части и стремится сообщить им одновременно одинаковые скорости. Чтобы в этом убедиться, Ньютон заставлял колебаться большое число тел одинакового веса, но разной формы и из разных материалов, помещая их в одну и ту же ёмкость, чтобы сопротивление воздуха было одинаковым. Несмотря на всю точность, с которой производились им эксперименты, он не заметил ощутимой разницы в длине простых секундных маятников, выведенной из продолжительности колебания этих тел. Отсюда следует, что при отсутствии сопротивления качанию их скорости, достигнутые под влиянием силы тяжести за одинаковое время, равны между собой.
В круговом движении мы имеем ещё один пример непрерывно действующей силы. Так как движение материи, предоставленной самой себе, равномерно и прямолинейно, ясно, что тело, движущееся по окружности, непрерывно стремится удалиться от центра по касательной. Усилие, которое оно для этого делает, называется центробежной силой, а центральной, или центростремительной, силой называют всякую силу, направленную к центру. В круговом движении центростремительная сила равна и прямо противоположна центробежной. Она непрерывно стремится приблизить тело с окружности к центру, и за очень короткий промежуток времени её действие измеряется синусом-верзусом малой описанной дуги.
Учитывая сказанное, можно сравнить силу тяжести с центробежной силой, вызванной вращением Земли. На экваторе тела вследствие этого вращения за каждую секунду времени описывают дугу 40.сс1095 [12."9955] экваториальной окружности Земли. Так как радиус экватора равен почти в точности 6 376 606 м, синус-верзус дуги равен 0.0126559 м. За 1 с сила тяжести на экваторе заставляет тела падать на 3.64930 м; центростремительная сила, необходимая, чтобы удержать тела на поверхности Земли, и, тем самым, центробежная сила, обусловленная её вращением, относится к силе тяжести на экваторе как единица к 288.4. Центробежная сила уменьшает силу тяжести, и на экваторе тела падают под действием только разности этих двух сил. Поэтому, называя гравитацией полное притяжение, или силу тяжести, не уменьшенную центробежной силой, получим, что на экваторе центробежная сила с большим приближением равна 1/289 гравитации. Если бы Земля вращалась в 17 раз быстрее, дуга, описанная за 1 с, была бы в 17 раз больше, её синус-верзус был бы в 289 раз больше, центробежная сила была бы в этом случае равна гравитации и тела на земном экваторе потеряли бы вес.
Вообще, ускоряющая постоянная сила, действующая всегда в одном направлении, равна удвоенному пути, который она заставляет описать тело, разделённому на квадрат времени. Всякая ускоряющая сила в очень коротком интервале времени может считаться постоянной и действующей в одном направлении. Путь, который центростремительная сила заставляет тело описывать при круговом движении, равен синусу-верзусу описанной малой дуги, и этот последний почти точно равен квадрату дуги, разделённому на диаметр. Поэтому выражение этой силы представляется квадратом описанной дуги, делённым на квадрат времени и на радиус окружности. Дуга, разделённая на время, равна скорости тела, и, следовательно, как центростремительная, так и центробежная сила равны квадрату скорости, разделённому на радиус.
Сопоставив этот вывод с тем, к которому мы пришли раньше и в соответствии с которым сила тяжести равна квадрату достигнутой скорости, разделённой на удвоенное расстояние, пройденное по вертикали, мы увидим, что центробежная сила равна силе тяжести, если скорость вращающегося тела равна скорости, приобретаемой весомым телом, падающим с высоты, равной половине радиуса описываемой окружности.
Скорости нескольких тел, двигающихся по окружностям, равны периметрам этих окружностей, делённым на время обращения. Окружности относятся друг к другу как их радиусы. Следовательно, квадраты скоростей относятся как квадраты радиусов, делённые на квадраты времён обращения. Поэтому центробежные силы относятся между собой как радиусы окружностей, делённые на квадраты времён обращения. Отсюда следует, что на разных параллелях Земли центробежные силы, вызванные её вращательным движением, пропорциональны радиусам этих паралелей.
Эти прекрасные теоремы, выведенные Гюйгенсом, привели Ньютона к общей теории движения по кривым и к закону всемирного тяготения.
Тело, описывающее некоторую кривую, стремится отклониться от неё по касательной; всегда можно вообразить окружность, проходящую через два смежных элемента28 этой кривой и называемую оскулирующей окружностью. В два последовательных отрезка времени тело движется по этой окружности. Следовательно, его центробежная сила равна квадрату скорости, разделённому на радиус этой оскулирующей окружности, но её положение и радиус непрерывно изменяются.
Если кривая описана под действием силы, направленной к неподвижной точке, её можно разложить на две, из которых одна направлена по оскулирующему радиусу, а другая — по элементу кривой. Первая из них уравновешивает центробежную силу, вторая — увеличивает или уменьшает скорость тела, и поэтому его скорость непрерывно изменяется. Но она всегда такова, что площади, описанные радиусом-вектором вокруг центра действия силы, пропорциональны времени. И наоборот, если площади, описанные радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, возрастают как время, сила, заставляющая их описывать, направлена постоянно к этой точке. Эти зависимости, фундаментальные для теории системы мира, легко доказываются следующим образом.
Можно предположить, что ускоряющая сила действует только в начале каждого отрезка времени, в течение которого движение тела равномерно. Тогда радиус-вектор опишет маленький треугольник. Если бы сила перестала действовать в следующий отрезок времени, радиус-вектор описал бы в этот второй отрезок времени новый треугольник, равный первому, поскольку вершины этих треугольников находятся в неподвижной точке — центре действия силы, а их основания, расположенные на одной прямой, равны, как описанные с. одинаковыми скоростями в равные промежутки времени. Но в начале нового отрезка времени ускоряющая сила сочетается с касательной силой, действующей на тело, и заставляет его описать диагональ параллелограмма, стороны которого представляют эти силы. Треугольник, описываемый радиусом-вектором под действием этой комбинированной силы, равен тому, который был бы описан в отсутствие ускоряющей силы, так как эти два треугольника имеют общим основанием радиус-вектор конца первого отрезка времени, а их вершины находятся на прямой, параллельной этому основанию. Поэтому площади, описанные радиусом-вектором, равны в обоих последовательных и равных отрезках времени. Следовательно, сектор, описанный этим радиусом, возрастает как число таких отрезков времени или как время. Ясно, что это будет только при условии, если ускоряющая сила направлена к неподвижной точке. В противном случае рассматриваемые нами треугольники не были бы одинаковой высоты. Таким образом, пропорциональность площадей времени доказывает, что ускоряющая сила постоянно направлена к началу радиуса-вектора.
В этом случае, если вообразить очень малый сектор, описанный за очень короткое время, из начала дуги этого сектора провести касательную к кривой и продолжить до этой касательной радиус, проведённый из центра действия силы к другому концу дуги сектора, то часть радиуса, заключённая между дугой и касательной, будет, очевидно, расстоянием, пройденным под влиянием центростремительной силы. Удвоив это расстояние и разделив результат на квадрат времени, получим выражение силы. А так как сектор пропорционален времени, центростремительная сила будет как бы частью радиуса, заключённой между кривой и касательной, разделённой на квадрат сектора. Строго говоря, центростремительная сила в разных точках кривой не пропорциональна этой дроби, но она приближается к ней по мере уменьшения секторов так, что в пределе равна ей в точности. Дифференциальный анализ даёт этот предел в виде функции радиуса, когда форма кривой известна, и тогда получают функцию расстояния, которому пропорциональна центростремительная сила.