Тени разума. В поисках науки о сознании - Пенроуз Роджер. Страница 112

Алгебраически этот скачок выражается следующим образом. Вектор состояния | ψ〉 всегда можно записать (в данном случае — однозначно, поскольку вектор \а) задан) в виде

где | χ〉 ортогонален | α〉. Вектор z| α〉 есть ортогональная проекция вектора | ψ〉 на луч, содержащий вектор | α〉, а | χ〉 — это ортогональная проекция | ψ〉 на пространство ортогональных дополнений| α〉 (т.е. на пространство всех векторов, ортогональных | α〉). Если измерение дает результат ДА, то это нужно понимать так, что вектор состояния перескочил в z| α〉 (или просто в | α〉), что является отправной точкой его последующей эволюции. Если же результат НЕТ, то вектор перескакивает в | χ〉.

Какие вероятности следует приписать каждому из двух альтернативных результатов? Для того, чтобы воспользоваться предложенным выше «правилом квадратов модулей», будем полагать вектор | α〉 единичными выберем некоторый единичный вектор | φ〉 в направлении вектора | χ〉, т.е. | χ〉 = w| φ〉. Тогда выражение принимает вид

(где, собственно, z= 〈 α| ψ〉 и w= 〈 φ| ψ〉), а относительные вероятности результатов ДАи НЕТвычисляются через отношение квадратов | z| ²и | w| ². Если и сам вектор | ψ〉 является единичным, то величины | z| ²и | w| ²представляют собой фактические вероятности, соответственно, результатов ДАи НЕТ.

Можно сформулировать все это и по-другому, причем в настоящем контексте получится даже несколько проще (в качестве упражнения предлагаю заинтересованному читателю самостоятельно убедиться в том, что эти формулировки эквивалентны). Для того чтобы определить фактическую вероятность каждого из возможных результатов (в данном случае, ДАи НЕТ), мы просто возводим в квадрат длину вектора | ψ〉 (ненормированного к единичному вектору), после чего сравниваем полученное значение с квадратами длины соответствующих проекций. Коэффициент уменьшения в каждом случае и будет представлять собой искомую вероятность.

В заключение следует упомянуть, что в случае общего измерения типа «да/нет» (т.е. не только примитивного), когда ДА-состояния не обязательно принадлежат одному-единственному лучу, рассуждение будет по большей части аналогично вышеприведенному. Только здесь речь пойдет о ДА-подпространстве Ди НЕТ-подпространстве Н. Эти подпространства являются ортогональными дополнениями друг друга — в том смысле, что любой вектор одного ортогонален любому вектору другого, вместе же они заполняют все исходное гильбертово пространство. Согласно проекционному постулату, при измерении первоначальный вектор состояния | ψ〉 ортогонально проецируется на подпространство Д, если получен ответ ДА, и на подпространство Н, если получен ответ НЕТ. Относительные вероятности этих результатов здесь также определяются коэффициентами уменьшения квадрата длины вектора состояния при соответствующем проецировании (см. НРК, с. 263, рис. 6.23). Впрочем, статус проекционного постулата в данном случае представляется несколько менее ясным, чем при нулевом измерении, поскольку при утвердительном результате измерения результирующее состояние сцепляется с состоянием измерительного устройства. Поэтому в последующих рассуждениях я ограничусь более простыми  примитивнымиизмерениями, ДА-пространство которых состоит из одного-единственного луча (содержащего векторы, кратные | ψ〉). Для наших нужд этого будет вполне достаточно.

5.14. Коммутирующие измерения

При проведении нескольких последовательных измерений квантовой системы порядок, в котором эти измерения выполняются, может быть, в общем случае, важным. Измерения, от порядка выполнения которых зависит, какой вектор состояния мы получим в конечном итоге, называются некоммутирующими. Если же порядок выполнения измерений не играет абсолютно никакой роли (не изменяется даже фаза результирующего состояния), то мы говорим, что такие измерения  коммутируют. В терминах гильбертова пространства это можно понимать так: при нескольких последовательных ортогональных проекциях заданного вектора состояния | ψ〉 окончательный результат, как правило, зависит от порядка выполнения этих проекций. В случае коммутирующих измерений порядок их выполнения никакой роли не играет.

Что же происходит в случае примитивныхизмерений? Нетрудно убедиться, что для коммутируемости двух различных примитивных измерений необходимо, чтобы ДА-луч одного был ортогонален ДА-лучу другого.

Например, примитивные измерения спина атома со спином 1/2 n (см. §5.10) можно выполнять в любом порядке, так как все возможные состояния здесь (|↑↑…↑〉, |↓↑…↑〉, …, |↓↓…↓〉) ортогональны друг другу. Таким образом, окончательный результат измерения никак не зависит от выбранного мной конкретного порядка выполнения примитивных измерений — все эти измерения коммутируют. Впрочем, в общем случае это не всегда так — например, нам может вздуматься выполнять отдельные измерения спина относительно различных направлений. Такиеизмерения, как правило, не коммутируют.

5.15. Квантовомеханическое «И»

В квантовой механике имеется стандартная процедура для исследования систем из двух и более независимых компонентов. Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в §5.18) системы, состоящей из двух далеко разнесенных в пространстве частиц со спином 3/2 — тех самых частиц, которые «Квинтэссенциальные Товары» поместили в магические додекаэдры (см. §5.3). Необходима такая процедура и для квантовомеханического описания детектора в момент сцепления его состояния с квантовым состоянием регистрируемой частицы.

Рассмотрим для начала систему, состоящую всего из двухнезависимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим, что каждый из этих компонентов (в отсутствие другого) описывается своим вектором состояния — скажем, | α〉 и | β〉. Как описать всюсистему, в которой присутствуют обакомпонента? Обычная процедура заключается в составлении так называемого  тензорного(или внешнего) произведенияэтих векторов, которое записывается следующим образом:

Мы можем рассматривать это произведение как стандартный квантовомеханический способ представления обыкновенного логического «И» — в том смысле, что такая система объединяет в себе в некоторый момент времени обенезависимые квантовые системы, представленные, соответственно, векторами состояния | α〉 и | β〉. (Например, | α〉 может представлять электрон, находящийся в точке A, а | β〉 — атом водорода в некоторой отдаленной точке B. Тогда состояние, в котором электрон находится в точке A, а атом водорода — в точке B, будет представлено произведением | α〉| β〉.) Величина | α〉| β〉 представляет одноквантовое состояние — мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, |х), и, не нарушив ни одного закона, записать