В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович. Страница 23

Но нет, не будем спешить с выводами. Саккери еще не успокоен, он смутно чувствует какой-то подвох и заявляет:

«На этом я мог бы спокойно остановиться, но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит сама себе».

И игра начинается снова.

Саккери вновь ищет доказательства, но уже на ином пути.

Он доказывает, что если принять «гипотезу острого угла», то оказывается, что «геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой линии, есть кривая линия».

Все это строго.

Обратите внимание, вывод, казалось бы, так нелеп, что можно остановиться.

Нет, Саккери отлично понимает, что этого еще недостаточно.

И здесь на секунду забудем о Саккери и вспомним о нашем досточтимом Гийас ад-Дине Абу-л-Фатхе Омаре ибн Ибрахиме ал-Хаййаме ан-Найсабури.

Пора выполнить наш долг и рассказать, что именно сделал он, доказывая пятый постулат.

Свое доказательство пятого постулата Хаййам начинает (как, впрочем, и все) с критики предшественников.

Он опровергает доказательства Герона, Евтокия, ал-Хазина, аш-Шанни ан-Найризи. Опровергает он также и Абу Али Ибн-ал-Хайсама, который шел весьма любопытным и оригинальным путем.

Али Ибн-ал-Хайсам начинает с гипотезы, что линия, описываемая верхним концом перпендикуляра данной длины при движении нижнего конца его по данной прямой, также есть прямая. (На чертеже изображены палочка с роликом и пунктирная прямая. Таким образом, автор пытается наглядно изобразить постулат Абу Али Ибн-ал-Хайсама.)

Сам Абу Али Ибн-ал-Хайсам пытался обосновать это утверждение, рассуждая о свойствах движения.

Как раз это и вызывает некоторое негодование Хаййама. Он атакует Абу Али за то, что тот вводит в геометрию движение. Тут Хаййам не прав.

Но и Абу Али тоже ошибался. Фактически он в своем доказательстве использовал постулат, эквивалентный Евклидову. А именно, его гипотеза эквивалентна постулату, уже известному нам: «геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, тоже прямая». Но он-то надеялся, что не постулировал, а доказал это.

Но и Хаййама аллах тоже покарал за гордыню. В итоге он запутался как раз в этом вопросе. Неявно он тоже использовал тот же самый эквивалент пятого постулата, что и Абу Али. Мы не будем анализировать доказательство Хаййама, поскольку оно довольно рядовое среди других. Заметим только, что все это говорилось, чтобы позволить себе некоторое лирическое отступление: все же математики думают неплохо. В Греции ли, в Хорасане или в Италии… Призывают ли они на помощь Зевса, аллаха или Иисуса Христа, они стремятся к безукоризненной логике и если ошибаются, то на довольно высоком уровне. И многие из них отлично понимали: утверждение, что геометрическое место равноудаленных от прямой точек есть прямая, надо доказывать.

Пусть противоположная версия кажется странной, но внутренних противоречий в ней не видно. А гипотеза будет отвергнута лишь тогда, когда ее следствием будет абсурд.

И Саккери продолжает борьбу.

Он анализирует эту «кривую равных расстояний», анализирует тщательно и совершенно строго, пока в какой-то момент лукавый опять не сбивает его с пути истинного, — он находит доказательство. Это прямая. И… попадает в очередную западню носителя зла. Снова ошибка. Но Саккери-то ее не видит. Он уверен: он доказал.

Кажется, все. Работа закончена. Пятый постулат доказан. Можно издавать книгу.

И он издает ее, точнее, она появляется на свет божий через несколько месяцев после его смерти (1733 г.). Заглавие достаточно сенсационное. «Евклид, освобожденный от всех пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии».

Но совесть ученого, видно, все же не очень спокойна. В заключение он пишет: «Не могу не указать здесь разницы между приведенными опровержениями обеих гипотез. При гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий… Между тем гипотезу острого угла мне не удается опровергнуть иначе, как доказав…»

В общем Саккери не удовлетворен. Это ясно чувствуется.

А дьявол шутит с ним свою последнюю и совсем уж злобную шутку. Работа его остается практически неизвестна до 1889 года, когда она стала иметь лишь чисто историческое значение.

По существу, Иероним Саккери блестяще доказал несколько десятков теорем неевклидовой геометрии, но его погубили исходные позиции; он все время был уверен, что вот-вот докажет пятый постулат.

Не зная о работе Саккери, еще дальше его пошел немецкий математик Ламберт (1728–1777 гг.). Он уже по праву может считаться прямым предтечей неевклидовой геометрии.

Ламберт начинает анализ, используя несколько другой четырехугольник. Вот он. В нем три прямых угла — A, A′ и B. Относительно угла B′ снова могут быть три гипотезы.

Он:

1. Острый.

2. Прямой.

3. Тупой.

Ламберт также довольно просто истребляет «гипотезу тупого угла».

Как именно, мы умолчим за недостатком времени.

Но мало того. Ламберт понимает и говорит, что «гипотеза тупого угла» оправдывается на сфере, если присвоить окружностям большого круга роль прямых линий. Это чрезвычайно интересное и глубокое наблюдение.

Дело в том, что и Саккери и Ламберт опровергали «гипотезу тупого угла», строго доказывая, что стоит ее принять, и будет получено: прямые AA′ и BB′ пересекаются в двух точках.

Но это противоречит известной аксиоме: через две различные точки проходит одна, и только одна, прямая.

Впрочем, достаточно даже доказать, что AA′ и BB′ пересекаются в одной точке, чтобы отбросить «гипотезу тупого угла».

Читатели могут развлечь себя проверкой последнего утверждения.

На сфере же, где дуги большого круга пересекаются в двух точках, «гипотеза тупого угла» справедлива.

После этого небольшого отступления Ламберт возвращается к плоскости.

Он показывает, что «гипотеза прямого угла» эквивалентна постулату Евклида.

Снова остается проверить и опровергнуть «гипотезу острого угла».

Ламберт начинает анализ, надеясь прийти к абсурду, и протягивает цепь своих теорем еще дальше, чем Саккери.

Он доказывает, между прочим, одну из самых замечательных и странных на привычный взгляд теорем геометрии Лобачевского:

Площадь любого треугольника пропорциональна разности между 180° и суммой его углов:

A — постоянное число, оно одно и то же для всех треугольников;

Σ — сумма углов треугольника.

Отсюда немедленно следует, что площадь любого треугольника не может превышать:

Это наивыгоднейший для нас случай, когда сумма углов треугольника равна нулю.

Отсюда, в свою очередь, немедленно вытекает, что стоит допустить существование треугольника сколь угодно большой площади — и мы докажем постулат Евклида.

Далее сразу ясно, что при «гипотезе острого угла», или, говоря попросту, в геометрии Лобачевского, отсутствуют подобные треугольники, ибо не может быть двух неравных треугольников с равными углами.

Так что теорему, доказанную Ламбертом, можно использовать, чтобы предложить две новые формулировки пятого постулата.

1. Существует треугольник, площадь которого больше любого указанного заранее числа.

Или:

2. Существуют хотя бы два подобных треугольника, то есть такие треугольники, площади которых различны, а все углы соответственно равны. (Правда, как помните, этот эквивалент пятого постулата использовали значительно раньше.)