В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович. Страница 24

Обе формулировки предельно естественны, предельно очевидны.

Вне сомнений, что элементарные следствия теоремы о площадях были ясны Ламберту. Но он не поддается лукавому и обманчивому очарованию очевидности. Напротив. Он даже увлекается этой неподатливой «гипотезой острого угла».

«Я склонен даже думать, что третья гипотеза («гипотеза острого угла». — В. С.) справедлива на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина, вследствие которой она на плоскости далеко не столь легко поддается опровержению, как это можно было сделать со второй гипотезой».

Сказано абсолютно точно. Действительно, считая, что геометрия Евклида справедлива на плоскости, можно указать такие поверхности, на которых будет выполняться планиметрия Лобачевского.

Это так называемые псевдосферические поверхности. Впервые их открыл все тот же Бельтрами.

Вот как симпатично выглядят некоторые из них.

(К поверхностям этим мы еще вернемся, а пока посмотрим, что еще говорил Ламберт.)

Основная его задача — доказать, что на плоскости выполняется геометрия Евклида. Замечание о псевдосферах — побочный вывод.

И Ламберт — можно еще раз восхититься логикой этого человека — ясно понимает: он ничего не доказал.

«Доказательства Евклидова постулата могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса. Обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо эквивалентный ему постулат».

Вот его вывод. Вывод безукоризненный и точный.

Безусловно, он разобрался в проблеме лучше всех предшественников, он провел анализ дальше всех, перечислил ряд нелепых, с точки зрения нашей «евклидовой» интуиции, выводов, к которым приводит «гипотеза острого угла», но он не нашел логически безупречного доказательства.

А «аргументы, вызываемые любовью и недоброжелательством», как он их квалифицирует, — не аргументы для геометра.

Более того, в глубине души Ламберт смутно подозревает, что, быть может, пятый постулат вообще нельзя доказать. Он обсуждает возможную справедливость «гипотезы острого угла».

Увлекаясь невольно цепью своих теорем, он даже нарушает сдержанный академический стиль:

«В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива.

И все же я желал бы, несмотря на это преимущество, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом других неудобств.

Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе, ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине, и астрономии пришлось бы плохо».

Слова «несмотря на это преимущество» относятся к замечательному выводу неевклидовой геометрии — существованию абсолютной единицы длины.

Ламберт, как видим, владел и этим понятием. (Об абсолютной единице длины мы вспомним еще чуть позже.) К сожалению, работа Ламберта также оказалась вне внимания ученых, и Лобачевский не знал о ней до конца дней своих.

Впрочем, неясно, стоит ли сожалеть об этом. Работа Ламберта, знай ее Лобачевский, могла бы, конечно, сэкономить ему пару лет работы, но могла бы и погасить интерес к проблеме, убедив, что все его начальные результаты уже давно известны.

Так или иначе, он ее не знал.

Ламберту оставалось совсем немного, чтобы стать автором неевклидовой геометрии. По сути — лишь одно.

Надо было твердо заявить: «гипотеза острого угла» равноправна с пятым постулатом.

Ни пятый постулат, ни противоположное ему утверждение («гипотеза острого угла» — в терминологии Ламберта) не вытекают из остальных аксиом. Они совершенно независимы. Какое именно выполняется в нашей вселенной — вопрос опыта.

Стоило ясно сформулировать себе эти очень вроде бы простые мысли, стоило поверить, что все так оно и есть. И… остальное было дело техники.

Математик такого дарования, как Ламберт, сравнительно просто мог доказать еще несколько десятков теорем, мог и без особого труда систематизировать эти теоремы — мог построить всю систему неевклидовой геометрии.

А теперь остановимся на мгновение.

Законы научного творчества — вещь смутная. Иногда к открытию приходят одним путем, иногда совсем отличным; бывает, приходят почти случайно, бывает, что открытие венчает десятилетия проклятого напряженного труда. Бывает всякое. Но один закон непреложен.

Лет через пятьдесят (от силы сто) любое супергениальное провидение — непонятное, запутанное, странное и поразительное для современников — кажется естественным, простым и едва ли не тривиальным.

Чтобы оценить значение той или иной работы, надо попытаться отбросить весь комплекс знаний, накопленных со времени ее появления, и мысленно представить себя в той эпохе.

Попробуем же вообразить себя геометром конца XVIII, начала XIX столетия, исследующим пятый постулат.

С ранних лет нас учат, что геометрия Евклида — самое совершенное создание человеческого разума. Нас не только учат, мы сами с годами все больше подчиняемся завораживающей логике доказательств, погружаемся в холодную красоту чертежей, лемм, теорем — в призрачное царство логики и интеллекта.

Мы живем в этом замкнутом мире, и единственные законы, управляющие нашим сознанием, — законы этого мира.

Геометрия давно уже не представляется нам тем, чем она была когда-то в дряхлой древности, «наукой об измерении земли — землемерием». Вопрос о ее реальности, о ее практическом осуществлении в нашем мире решен столь давно, что сейчас он никого не заботит.

Геометрия давно уже воспарила от грешной земли к горным высотам идеальной абстракции.

Сама мысль, что геометрию все еще можно и должно проверять опытом, что геометрия, по существу, один из разделов физики, не может прийти нам на ум, потому что еще в самые первые дни обучения мы узнали, что геометрия верно служит уже несколько тысяч лет.

Да, в последнее время вся система аксиом подвергается некоторой критике.

Да, пресловутый пятый постулат шокирует, и довольно серьезно, наши эстетические чувства.

Но не более.

Никаких сомнений в справедливости пятого постулата у нас нет и быть не может. Мы сомневаемся лишь в том, что это постулат. Мы лишь подозреваем, что в аксиомы затесалась теорема.

Ставить под сомнение пятый постулат вообще — означает усомниться в геометрии. А если так, то столько же оснований усомниться, например, в аксиоме: «Через две точки проходит одна, и только одна, прямая».

Или в любой другой. Можно подвергнуть ревизии и понятие линии. И арифметические аксиомы. Можно все идеальное, античных пропорций здание превратить в бесформенное нагромождение обломков. Можно. Но это работа варвара, гунна, а отнюдь не математика.

Нет ничего более совершенного в мире, нежели геометрия, и лишь один небольшой изъян слегка смущает нас — пятый постулат.

Что касается других аксиом — они настолько очевидны, что сколь-нибудь серьезных вопросов с ними не может быть связано. Легкие изменения, более отточенные формулировки — да, это возможно. Но малоинтересно в конце концов. Так мы думаем. Так думали математики всех стран 25 веков до нас. Отказаться от нашей веры — означает отказаться от всего.

Мы стремимся к красоте и гармонии в нашей евклидовой геометрии, к окончательной отделке здания. Но менее всего думаем о разрушении.

И мы убеждены: допустить, что в геометрии Евклида можно изменить хоть одну аксиому, не придя при этом к ужасной нелепости, — значит подорвать все.

Нужна одна мысль, одна фраза, но мысль, совершенно меняющая все мировоззрение.

Глава 7

Неевклидова геометрия. Решение