Геометрия, динамика, вселенная - Розенталь Иосиф Леонидович. Страница 10

Вернемся снова к рис. 3. Круг и цилиндр на нем расслоение полусферы, изображенной в верхней его части. Построим на полусфере треугольник, образованный геодезическими линиями — отрезками больших кругов. Разумеется (поскольку сфера — неевклидова поверхность), сумма углов треугольника не равна π. Спроецируем точки треугольника на круг (базу), параллельный основанию полусферы. Прямые, осуществляющие проецирование, будем полагать слоями расслоенного пространства.

Произведем далее операцию параллельного переноса на полусфере вдоль контура треугольника. Поскольку полусфера неевклидова поверхность, то при полном обходе треугольника (возвращение вектора в точку, совпадающую с началом вектора a) между направлениями первичного и конечного векторов (стрелки на рисунке) образуется некоторый угол — связность.

Обобщим это понятие на расслоенное пространство. С этой целью спроецируем треугольник на круг (базу). Прямые, осуществляющие проекцию, — слои пространства. Проекции начального и конечного векторов на полусфере образуют на круге некоторый угол v ≠ 0, который является компонентой связности в базе.

Чтобы определить связность в слоях, введем расстояние от начала слоя (отрезка), которое является, вообще говоря, произвольной точкой отсчета. Важно лишь, чтобы во всех слоях были бы одинаковые точки отсчета. Иначе говоря, любой круг, пересекающий слои и параллельный основанию полусферы, мог бы определить точки отсчета. Естественно (но не необходимо) отождествить точки отсчета с точками круга — базы. Будем далее измерять угол между векторами во время параллельного переноса в произвольных единицах (например, радианах) и откладывать этот угол на прямых — слоях пространства. В результате операции полный обход периметра треугольника на сфере будет соответствовать некоторому подъему величины проекции в слое. Этот подъем определяется смещением векторов в полусфере при возвращении в точку, совпадающую с началом вектора a после полного обхода контура. В пространстве слоев

1 начало обхода на полусфере соответствует точке a|, конец 1 1 1 d| (см. рис. 3). Таким образом, расстояние a|d| характеризует связность в слое.

Расслоение полусферы на круг и линейное пространство одно из простейших расслоений, позволяющих дать наглядную интерпретацию связности расслоенного пространства. В общем случае подобная наглядность утрачивается. Идея введения общего определения связности близка к основной идее дифференциальной геометрии: в малом объеме метрика пространства евклидова или псевдоевклидова. В расслоенных пространствах также постулируется простота пространства в малом. Полагается, что в малом расслоенное пространство можно представить простым произведением, частным случае которого и было расслоение полусферы.

В результате обхода микроконтура в полном пространстве или базе определяется компонента связности в базе. Далее в соответствии с приведенным выше примером операция обхода микроконтура количественно отображается в пространстве слоев, определяя таким образом связность в этом пространстве.

В заключение сделаем одно замечание, имеющее, как мы увидим далее, прямое отношение к физике (динамике). Хотя значение связности определяется однозначно, однако операция ее вычисления неоднозначна. Это утверждение — следствие

1 неоднозначности в выборе начальной точки отсчета a|. Сделанный нами выбор: начало обхода контура соответствует пересечению слоя (прямой) и базы (круга) — обусловлен

1 простотой. Точку a| можно было бы сместить вдоль соответствующей прямой (слоя) на произвольную величину.

1 Связность определяется не положением точки a|, а разностью

1 1 отрезком a|d|.

ГЛАВА 2. Д И Н А М И К А

1. ВРЕМЯ

Классическая геометрия (Евклида, Лобачевского, Римана) по своему существу статична. И хотя в ее пределах правомочна операция переноса фигур, но она имеет лишь одно предназначение: установление их равновеликости. Поэтому этот перенос (как правило, мысленный) может осуществляться бесконечно быстро или сколь угодно медленно. Скорость переноса, а следовательно, и его время геометров не интересовали. Геометрия была вне времени. Видимо, время было тем фактором, который более всего способствовал тому, что до конца прошлого столетия геометрия и физика существовали раздельно.

Можно точно указать годы, когда зарождалось представление об общности геометрии и времени и когда это представление приобрело ясную и недвусмысленную формулировку. Идея единства пространства-времени была сформулирована Г.Минковским в 1907 г., ей предшествовало создание специальной теории относительности А.Эйнштейном, А.Пуанкаре и Х.Лоренцом в 1904–1905 гг.

Разумеется, нельзя абсолютизировать (даже в историческом плане) утверждение о независимости геометрии и времени. Геометрические образы — неизменное сопровождение механики, а время — ее основополагающее понятие. Как только возникало слово «время», так от классической, дорелятивистской геометрии следовал переход к динамике. Время — неизбежный спутник динамики.

После создания теории относительности статус времени существенно изменился: оно стало равноправным партнером пространства. Возникла новая геометрия — геометрия пространства-времени. После создания общей теории относительности (ОТО, 1915–1916 гг.) геометрия и динамика в рамках ОТО слились воедино.

После краткого вступления уместно задать вопрос: что такое время? Казалось бы, что ответ на этот вопрос ясен; достаточно использовать какое-либо признанное определение, заимствованное из бесчисленного количества книг, посвященных пространству-времени или исключительно времени. Имея в виду такое решение, автор обратился к двум современным, специально посвященным времени изданиям: книгам Ф.С.Заславского «Время и его измерение» (М.: Наука, 1977) и Дж. Уитроу «Структура и природа времени» (М.: Знание, 1984). В этих книгах можно найти множество интересных сведений. Например, о представлении времени у обезьян и небольших индейских племен, о методах измерения времени в древности и в эпоху средневековья, есть здесь и мысли древних философов о времени, и многое другое. Однако предмет поиска определение физического времени — в этих книгах отсутствовал.

Разумеется, можно было бы продолжить поиски единственного и правильного определения, однако после зрелого размышления сделалась очевидной их бессмысленность. Представилось очевидным, что определение времени — задача совсем не простая. Вероятно, не худшим выходом было решение упомянутых выше авторов книг о времени сделать вид, что вопроса не существует.

Тем не менее кажется необходимым дать если не определение, то по крайней мере описание понятия физического времени. Известно, что определить понятие означает подвести под него другое более широкое понятие. Но время — настолько широкая категория, что, быть может, лишь Вселенная и материя являются более объемными понятиями. Не претендуя, разумеется, на единственность и абсолютную правоту приведенного далее определения, можно все же сделать попытку в этом направлении.

Итак, физическое время — это количественная мера упорядоченной эволюции материального объекта как целого от его возникновения до гибели.

Это определение нуждается в пояснениях, из которых естественно следует, что лаконичность — не синоним простоты. В определениях неявно фигурируют следующие допущения.

1. Объект характеризуется целостностью в том смысле, что у него есть единое время.

2. У каждого объекта собственное время, которое, вообще говоря, не совпадает с временем других объектов.

3. Все объекты рождаются и умирают.

Требует пояснения также и понятие «упорядоченной эволюции».

Начнем комментарии по порядку.

1. Макроскопический объект, т. е. тело, состоящее из нескольких (≥2) частей, априорно не должно характеризоваться единым временем. Наш повседневный опыт как будто подтверждает существование единого времени, характеризующего эволюцию объекта как целого. Однако такое заключение несколько иллюзорно и связано с тем, что в рамках повседневного опыта относительная скорость v отдельных частей макроскопического тела удовлетворяет условию v/c << 1 (c — скорость света). Если v/c ~ 1, то в соответствии с теорией относительности каждая часть тела обладает своим собственным временем. Однако при обычных скоростях условие v/c << 1 выполняется, и постулат о целостности достаточно оправдан.