Геометрия, динамика, вселенная - Розенталь Иосиф Леонидович. Страница 12

Однако полный анализ понятия инерциальной системы отсчета выходит за рамки основной темы, и далее мы ограничимся лишь кратким его рассмотрением. Пока же примем наиболее популярное определение инерциальной системы отсчета, представленное в классическом курсе теоретической физики Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица:

Из этого определения следует ограниченность понятия инерциальной система отсчета. Оно приложимо к (квази)точечным телам — материальным точкам. Макроскопическое тело, состоящее, по определению, из многих точечных тел, само выделяет из первичного пространства Евклида объем, нарушающий его однородность и изотропию. Следовательно, использование понятия инерциальной системы применительно к макроскопическим телам, вообще говоря, неоправданно. И действительно, существует ряд парадоксальных физических ситуаций (релятивистское преобразование температуры, выбор формы электромагнитного тензора энергии-импульса в макроскопических телах и т. д.), когда отсутствует однозначное решение четко и корректно сформулированной проблемы. На наш взгляд, эта неоднозначность обусловлена чрезмерно широким употреблением понятия инерциальной системы. Но подробнее обсуждение этой проблемы находится вне основной линии книги. Мы лишь во избежание недоразумений будем использовать инерциальные системы для (квази)точечных тел.

Здесь уместно напомнить основные свойства инерциальных систем отсчета. В этих системах законы ньютона имеют наиболее простой вид (отсутствуют силы инерции). Все механические явления, происходящие в двух инерциальных системах, движущихся с постоянной скоростью друг относительно друга, протекают одинаково.

Иначе говоря, законы движения в двух инерциальных системах координат инвариантны при переходе от одной системы отсчета к другой. Отмеченную инвариантность уместно выразить на языке линейных преобразований. Для простоты ограничимся двумерным евклидовым пространством. Пусть в инерциальной системе I точка (событие) представлена координатами x _I, y _I, а система II (координаты x _II, y _II) движется с постоянной скоростью v относительно системы I. Тогда из свойств евклидова пространства и инерциальных систем отсчета следует, что уравнения движения в этих системах должны быть инвариантны относительно замены:

x| = x| cos ALPHA + y| sin ALPHA + vt cos BETA + a, 2 1 1

y|= — x| sin ALPHA + y| cos ALPHA + vt sin BETA + b, (12) 2 1 1

где ALPHA — произвольный угол поворота системы отсчета I, BETA — угол между направлениями O|O| и O|x|. Постоянные a и

1 2 2 2 b отражают однородность (трансляционную инвариантность) евклидова пространства. Условие (12) является обобщением аналитического определения статического евклидова пространства. Евклидово пространство однородно и изотропно. Следовательно, при произвольном преобразовании декартовой системы координат осуществляются соотношения:

x| = x| cos ALPHA + y| sin ALPHA + a, 2 1 1

y|= — x| sin ALPHA + y| cos ALPHA + b, (13) 2 1 1

Таким образом, инерциальные системы отсчета — основа динамики — являются обобщением статического евклидова пространства. Это обобщение отражается включением членов, содержащих множитель vt, обуславливающих равноправие всех инерциальных систем отсчета. [6]

Пожалуй, интересно отметить, что в течение многих столетий доминировала механика, в которой допустимые преобразования представлялись соотношениями (13). Эта механика была унаследована от Аристотеля, который полагал, что любое движение (в том числе и равномерное) обусловлено внешним воздействием. Потому в рамках такой механики существовала единственная привилегированная система отсчета — та, к которой тело покоилось. Естественно, что геометрия, соответствующая подобной механике, была тождественна геометрии Евклида.

Преобразование (12) подчеркивает особенность классической механики. Время t и скорость v никак не связаны с пространственными координатами и могут принимать любые значения. Поэтому, хотя пространство, представленное геометрией Евклида, имеет определенную метрику (в данном случае x**2 + y**2 = const), совокупность времени и пространственных координат такой определенной метрикой не обладает.

3. «ВЫВОД» КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ИЗ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВА

Почти во всех учебниках физики характеристики пространства и уравнения движения излагаются независимо. Поэтому создается впечатление, переходящее в убеждение, о независимости этих основных элементов физики. В действительности же свойства пространства (евклидовость) практически предопределяют классическую динамику.

Ограничимся (как условились ранее) анализом системы двух тел, одно из которых будем полагать телом отсчета, а другое материальной точкой, положение которой характеризуется вектором r и временем t. Из определения инерциальной системы отсчета следует, что они являются единственной привилегированной системой отсчета, поскольку она отражает наиболее общие свойства пространства изотропию и однородность. Для системы двух тел существует единственное выделенное направление — вектор r, соединяющий тело отсчета и материальную точку.` Поэтому все динамические и кинематические величины будут направлены вдоль вектора r. Обозначим меру воздействия на материальную точку символом Ф. По определению, воздействие, а следовательно и сила, инвариантно относительно равномерного движения инерциальной системы. Поскольку существует единственное выделенное направление r, то функция Ф определяется вектором r или его производными dr/dt, d**2 r/dt**2, d**3 r/dt**3… (предполагается, что они параллельны). Действие в принципе может зависеть от констант m|, m|…., характеризующих

1 2 материальную точку

dr d**2 r Ф = Ф (m|, m|…, r, — , ----…). (14)

1 2 dt dt**2

Однако при учете свойств инерциальной системы это выражение сильно упрощается. Действительно, в общем случае аргументы r и v = dr/dt исключаются вследствие эквивалентности инерциальных систем. Всегда можно выбрать систему, в которой в данный момент v=0. Производные высших порядков: d**3 r/dt**3, d**4 r/dt**4…. в общем виде также не могут определять движение, поскольку в этом случае, помимо выделенного класса систем отсчета (соответствующего v=const), существовали бы и другие привилегированные системы отсчета, удовлетворяющие условиям a = d**2 r/dt**2=const или b = d**3 r/dt**3=const и т. д. Поскольку рассматривается материальная точка, то естественно допустить, что она характеризуется единым параметром m=m|. Поэтому (14) можно

1 записать в форме

d**2 r Ф = Ф (m, — --). (15)

dt**2

Величина m — внутренняя характеристика тела, вторая производная d**2 r/dt**2 определяется взаиморасположением тела отсчета и материальной точки. В рамках ньютоновской механики обе величины абсолютно независимы. Поэтому естественно предположить, что они входят в выражение (14) в виде произведения

d**2 r Ф = Ф (m —---). (16)

dt**2

Назовем силой функцию F, обратную функции Ф, тогда получаем основной закон

d**2 r F = m —---. (17)

dt**2 [7]

Из свойств пространства вытекают характеристики дальнодействующих сил, составляющих основу классической механики.

Назовем дальнодействующими (макроскопическими) силами такие воздействия, которые в статическом случае (т. е. когда тело отсчета неподвижно) можно характеризовать силовыми линиями, начинающимися в теле отсчета, но не изменяющимися в пустом пространстве. Иными словами, в пустом пространстве силовые линии — прямые. Если же силовые пересекают материальную точку, то они взаимодействуют с ней, прекращая свое существование.