Апология математики, или О математике как части духовной культуры - Успенский Владимир Андреевич. Страница 18

Но что же представляют из себя идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и тому подобные, - отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

Ни что такое куздры, ни что такое бокры, ни что такое будлать - всё это оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для получения из этих утверждений определённых заключений - то есть таких утверждений, которые непременно являются истинными при условии истинности всех утверждений нашего исходного квартета. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.

Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае - куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае - отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае - в утверждениях (1) - (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае - аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, то есть дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности - геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, то есть геометрией плоскости, без выхода в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:

1. Отношение инцидентности между точками и прямыми: точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу. В школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят “точка лежит на прямой” или же “прямая проходит через точку”.

2. Отношение ‘между’, связывающее тройки точек: из трёх точек одна может лежать или не лежать между двумя другими.

3-4. Отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов: два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу. Когда-то в наших школах не боялись слова “конгруэнтны”; сейчас, к сожалению, там велено заменить это слово на слово “равны”. Почему “к сожалению”? А потому, что ведь имеется в виду отношение не между длинами отрезков или между величинами углов (и те, и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, чтбо такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения.

На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) - (4) слово “куздра” на слово “точка”, слово “бокр” на слово “прямая”, слово “будлать” на выражение “лежать на”. Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (!4): На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки. Аналогично, аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (!1), (!2) и (!3), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (!1), (!2), (!3) и (!4) составляют в своей совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: Для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее - странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в двадцатых годах XX века учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы: Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка.

Глава 9. Проблема на миллион долларов

Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; если человек укусил собаку - это новость. Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, стоявшую более ста лет, начали появляться в средствах массовой информации с 2003 года. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, согласно приведённой формуле, стала сенсация, облетевшая СМИ и заметное время удерживаемая ими летом 2006 года: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград - в частности, от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместную шумиху, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, - эти причины отказа были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только трудная и знаменитая, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.

Пожалуй, со времени вхождения в общекультурный оборот проблемы Ферма ни одна математическая проблема с сопровождающим её шлейфом обстоятельств не приобретала такой массовой известности. Произошло вторжение математической проблематики в общественное сознание. Следует ли закрепить величие великой проблемы тем, что оставить её окружённой ореолом тайны, открытой лишь для посвящённых и полностью недоступной пониманию широкой публики? Не знаю; может быть, и стоит. Тем не менее в этой главе мы попытаемся в самых общих чертах объяснить читателю-нематематику, в чём состоит проблема.

Но сперва о “шлейфе обстоятельств”. Григорию Яковлевичу Перельману, безработному кандидату физико-математических наук, в отличие от якобы доказавших теорему Ферма “академиков” (см. выше главу 2) и в самом деле решившему так называемую проблему Пуанкаре, ещё только предстоит отказаться (или не отказаться) от миллиона долларов.

До тех пор, пока премия не будет ему предложена, Перельман, по его собственным словам, не намерен заниматься решением вопроса, принимать её или нет. Что касается самой этой премии, то расположенный в Массачусетсе частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) действительно включил проблему Пуанкаре в список из семи математических “Проблем Тысячелетия” и за решение каждой из них обещает выплатить миллион. Но выплата происходит по прошествии определённого срока и после специальной экспертизы. В случае проблемы Пуанкаре ни то, ни другое, кажется, ещё не произошло. К тому же к рассмотрению, как правило, принимаются лишь решения, опубликованные в авторитетных изданиях, реферируемых в специальных реферативных журналах. Ни одно из бумажных изданий Перельман не удостоил и своё решение обнародовал лишь в Интернете. От чего Перельман действительно отказался, так это от медали Филдса.