Квантовая магия - Доронин Сергей Иванович. Страница 42

Довольно часто для простоты количество квантовой информации определяется просто как число кубитов в системе.

Исходная величина

Tr

( ρ ²) сейчас тоже широко используется в физике квантовой информации, но уже не в качестве меры информации, а как характеристика степени чистоты состояния ( purity), которая показывает, насколько близко данное состояние к

чистому

, для последнего

Tr

( ρ ²) = 1.

3.5.

Кубит

и сфера Блоха

Кубиту

в нашей книге отведена исключительно важная роль, поэтому вернемся к нему еще раз — теперь уже с привлечением матрицы плотности, которая помогает глубже понять, что такое

кубит

, и более подробно его описывает.

Пространство двух состояний, когда система может переходить из одного состояния в другое (двухуровневая система), является простейшим гильбертовым пространством. Когда система имеет одно состояние, и оно не меняется, то вообще не имеет смысла говорить о применении методов квантовой теории к такой системе и об описании ее в терминах состояний.

Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить [93]|0ñи |1ñ, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:

|Ψñ = a|0ñ + b|1ñ, (3.9)

где аи b— комплексные числа (амплитуды), удовлетворяющие условию

нормировки

| а| ²+ | b| ²= 1.

Тогда, исходя из основных понятий квантовой механики, определение кубита звучит достаточно просто:

кубит

—это вектор состояния двухуровневой системы.

Таким образом,

кубит

— это минимально возможный (элементарный) вектор состояния. Любой вектор состояния может быть представлен как совокупность таких элементарных векторов, поэтому

кубит

— первооснова, исходный «кирпичик» для всех других векторов состояния любой размерности.

Подобно тому, как за единицу классической информации принимается бит (0 и 1), так в физике квантовой информации

кубит

определяется как единица квантовой информации.

Одним из сложных для восприятия квантовой механики моментов является отсутствие наглядных представлений, когда приходится иметь дело с векторами состояний и матрицами плотности. Как можно сопоставить вектор гильбертова пространства с привычными для нас трехмерными объектами? Один из наиболее простых вариантов такого сопоставления хорошо известен. Это так называемая сфера Блоха. Попытаемся разобраться, что она собой представляет.

В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях (например, «вверх» и «вниз»), матрица плотности имеет размер 2 × 2 и для чистого состояния (

3.9)

она имеет вид:

. (3.10)

Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита, не только для того случая, когда он находится в чистом состоянии, как (3.10), но и для смешанного состояния, когда

кубит

взаимодействует со своим внешним окружением:

, (3.11)

где

Е

— единичная матрица,  = ( P _x, P _y, P _z) — вектор Блоха (вектор поляризации), а  = (

σ _x

,

σ _y

,

σ _z

) — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули:

. (3.12)

Компоненты вектора Блоха определяются как средние значения матриц Паули по обычному правилу (3.8) P _j≡ <

σ _j

> =

Tr

(

ρ

σ _j

); j = x, y, z.

Три проекции вектора поляризации P _x, P _y, P _z, согласно (3.11), полностью определяют матрицу плотности кубита. В случае чистого состояния длина вектора поляризации равна 1, то есть

, и этот вектор описывает сферу единичного радиуса, которая называется сферой Блоха (рис. 1). В этом случае компоненты вектора Блоха равны:

P _x=

sin θcos φ

,

P _y

=

sin θsin φ

,

P _z

=

cos θ

,

и два вещественных параметра (углы θи φ) однозначно задают вектор состояния (матрицу плотности) кубита.

В случае смешанного состояния длина вектора поляризации становится меньше единицы, то есть

, и он будет расположен внутри сферы.

Итак, матрица плотности кубита может быть представлена точкой в нашем привычном трехмерном пространстве. То есть существует взаимно однозначное соответствие между матрицей плотности и точкой шара единичного радиуса. Для чистого состояния (замкнутой системы) — это точка сферы.

Чистые состояния, описываемые одним вектором состояния, соответствуют точкам поверхности сферы Блоха, а смешанные состояния, описываемые матрицей плотности, — точкам внутри шара. При взаимодействии с окружением (при декогеренции), в случае смешанного состояния, вектор состояния как бы

погружается внутрь сферы Блоха и

будет описывать уже не окружность, а, например эллипс, что-то похожее на форму яйца. А в самом предельном случае, когда состояние кубита становится максимально смешанным, весь шар, все пространство допустимых состояний, сжимается до отрезка на оси квантования между значениями 1/2 и —1/2. Этот отрезок — тот минимум, который может остаться от кубита, скажем, в самом худшем (или лучшем?) случае.

Такая ситуация, например, имеет место при максимально запутанном состоянии

с

другим

кубитом

. Тогда, как уже говорилось выше [см. выражение (3.5)], матрица плотности одного кубита является максимально смешанной.

В этом проявляется двойственный характер декогеренции: с одной стороны, она приводит к локализации системы, нарушению когерентного состояния, но с другой — взаимодействие с окружением ведет к квантовой запутанности с этим окружением. Можно еще сказать и так: предельно

возможная

декогеренция окружением совпадает с максимальной запутанностью с этим окружением. И реализуется эта ситуация при наличии максимально возможного взаимодействия между кубитами (как в нашем случае), когда они составляют единое целое (максимально запутанное состояние).

Можно задать вопрос: а какое количество информации содержит один

кубит

? Если с каждой точкой на сфере Блоха, с каждым положением вектора состояния сопоставить определенную информацию, то, как это ни парадоксально звучит,

кубит

содержит бесконечный объем информации, и эта информация аналоговая, непрерывная.

Кубит

,

двигаясь по поверхности сферы Блоха

, непрерывно изменяет свое состояние, изменяя при этом информацию. Но информация, содержащаяся в

кубите

, — квантовая

. «

Считать» с кубита можно только один бит классической информации — либо 0, либо 1.